高三数学复习 第10篇 第5节 古典概型与几何概型

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1、 高考数学精品复习资料 2019.5 第十篇　第5节 一、选择题 1．将一枚硬币先后抛掷两次，恰好出现一次正面的概率是(　　) A．　　　　　　　　　　 B. C． D． 解析：基本事件为正正、正反、反正、反反4个，恰好出现一次正面包括正反，反正2个基本事件，故P＝＝，故选A. 答案：A 2．(20xx河北省衡水中学高三模拟)10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：无人中奖的概率为＝. 故至少有1人中奖的概率为1－＝.

2、故选D. 答案：D 3．在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：由题意可知6≤AM≤9， 于是所求概率为P＝＝. 故选A. 答案：A 4．设p在[0,5]上随机地取值，则方程x2＋px＋＋＝0有实数根的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：Δ＝p2－4＝(p＋1)(p－2)≥0. 解得p≥2或p≤－1， 所求概率为＝. 故选B. 答案：B 5．设＝(k,1)(k∈Z)，＝(2,4)，若k为满足||≤4的一个随机数，则△AB

3、C是直角三角形的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：∵||≤4，∴k2＋1≤16， ∴k2≤15. 又∵k为整数， ∴k＝0，1，2，3. 经检验，只有当k＝－1，－2,3时，△ABC为直角三角形， ∴该概率P＝. 故选C. 答案：C 6．(20xx陕西师大附中高三模拟)在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为(a，b)，表示边长为2π的正方形． 要使函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点， 需4a

4、2＋4b2－4π≥0， 即a2＋b2≥π，表示以原点为圆心，为半径的圆的外部，且在正方形的内部， 所以其面积为4π2－π2＝3π2， 所以有零点的概率为＝. 故选B. 答案：B 二、填空题 7．曲线C的方程为＋＝1，其中m、n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A＝“方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆”，那么P(A)＝______. 解析：试验中所含基本事件个数为36；若想表示椭圆，则前后两次的骰子点数不能相同，则去掉6种可能，既然椭圆焦点在x轴上，则m>n，又只剩下一半情况，即有15种． 因此P(A)＝＝. 答案： 8．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到

5、三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________． 解析：以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC交出三个扇形， 当P落在其内时符合要求． ∴P＝＝π. 答案：π 9．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________． 解析：点P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x2＋y2＝9的内部，所求概率为＝. 答案： 10．(20xx山西康杰中学第二次模拟)设Ω＝{(x，y

6、)||x|≤1，|y|≤1}，A是曲线y＝x2与y＝x围成的区域，若在区域Ω上随机投一点P，则P点落入区域A的概率为________． 解析：SΩ＝22＝4， SA＝(－x2)dx 故所求概率P＝＝＝. 答案： 三、解答题 11．已知袋中有编号1～9的小球各一个，它们的大小相同，从中任取三个小球．求： (1)恰好有一球编号是3的倍数的概率； (2)至少有一球编号是3的倍数的概率； (3)三个小球编号之和是3的倍数的概率． 解：(1)从九个小球中任取三个共有C种取法，它们是等可能的．设恰好有一球编号是3的倍数的事件为A. 则P(A)＝＝. (2)设至少有一球编号是3的

7、倍数的事件为B， 则P(B)＝1－＝或P(B)＝＝. (3)设三个小球编号之和是3的倍数的事件为C，设集合S1＝{3,6,9}，S2＝{1,4,7}，S3＝{2,5,8}， 则取出三个小球编号之和为3的倍数的取法共有3C＋CCC种， 则P(C)＝＝. 12．(20xx烟台一模)某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为100分)，数学成绩分组及各组频数如下： [40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，14；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，4 (1)请把给出的样本频率分布表中的空格都填上

8、； (2)估计成绩在85分以上学生的比例； (3)为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩[90,100]中选两位同学，共同帮助成绩在[40,50)中的某一位同学．已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率． 样本频率分布表 分组 频数 频率 [40,50) 2 0.04 [50,60) 3 0.06 [60,70) 14 0.28 [70,80) 15 0.30 [80,90) [90,100] 4 0.08 合计 解：(1)样本的频率分布表： 分组 频数 频率 [40,50) 2 0.04 [50,60) 3 0.06 [60,70) 14 0.28 [70,80) 15 0.30 [80,90) 12 0.24 [90,100] 4 0.08 合计 50 1 (2)估计成绩在85分以上的有6＋4＝10人，所以估计成绩在85分以上的学生比例为＝. (3)[40,50)内有2人，[90,100]内有4人，则“二帮一”小组有CC＝12(种)分组办法．其中甲、乙两同学被分在同一小组有C＝3(种)办法． 所以甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为 P＝＝.