高考数学一轮复习学案训练课件北师大版文科： 第3章 三角函数、解三角形 第5节 两角和与差及二倍角的三角函数学案 文 北师大版

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1、 高考数学精品复习资料 2019.5 第五节　两角和与差及二倍角的三角函数 [考纲传真]　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)． (对应学生用书第48页) [基础知识填充] 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝s

2、in_αcos_β±cos_αsin_β； (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β； (3)tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝. [知识拓展] 1．有关公式的变形和逆用 (1)公式T(α±β)的变形： ①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋

3、tan αtan β)． (2)公式C2α的变形： ①sin2α＝(1－cos 2α)； ②cos2α＝(1＋cos 2α)． (3)公式的逆用： ①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2； ②sin α±cos α＝sin. 2．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ). [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　) (2)在锐角△ABC中，sin Asin B

4、和cos Acos B大小不确定．(　　) (3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　) (4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　) A．－　　　 B．　　　 C．－　　　 D． D　[sin 20°cos 10

5、°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D．] 3．(20xx·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　) A．－ B．－ C． D． A　[∵sin α－cos α＝， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝， ∴sin 2α＝－. 故选A．] 4．(20xx·云南二次统一检测)

6、函数 f(x)＝sin x＋cos x的最小值为________. 【导学号：00090103】 －2　[函数f(x)＝2sin的最小值是－2.] 5．若锐角α，β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β＝________. 　[由(1＋tan α)(1＋tan β)＝4， 可得＝，即tan(α＋β)＝. 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.] (对应学生用书第49页) 三角函数式的化简 　(1)化简：＝________. (2)化简：. (1)2cos α　[原式＝＝2cos α.] (2)原式＝ ＝＝＝cos 2x. [规

7、律方法]　1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式． 二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”． 三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 2．三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂． [变式训练1]　化简sin2＋sin2－sin2α＝________. 【导学号：00090104】 　[法一：原式＝＋－sin2α ＝1－－sin2α＝1－cos 2α·cos －sin2α＝1－－＝. 法二：令

8、α＝0，则原式＝＋＝.] 三角函数式的求值 角度1　给角求值 　(1)＝(　　) A．　　 　 B．　　 　 C．　　 　 D． (2)sin 50°(1＋tan 10°)＝________. (1)C　(2)1　[(1)原式＝＝ ＝＝. (2)sin 50°(1＋tan 10°) ＝sin 50° ＝sin 50°× ＝sin 50°× ＝＝＝＝1.] 角度2　给值求值 　(1)(20xx·全国卷Ⅱ)若cos＝，则sin 2α＝

9、(　　) A． B． C．－ D．－ (2)(20xx·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin＝ (　　) A． B． C． D． (1)D　(2)A　[(1)∵cos＝， ∴sin 2α＝cos＝cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝－. (2)由7sin α＝2cos 2α得7sin α＝2(1－2sin2α)， 即4sin2α＋7sin α－2＝0，∴sin α＝－2(舍去)或sin α＝. ∵α为锐角，∴cos α＝， ∴sin＝×＋×＝，故选A．] 角度

10、3　给值求角 　(20xx·长春模拟)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于(　　) 【导学号：00090105】 A． B． C． D． C　[∵α，β均为锐角，∴－＜α－β＜. 又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝. 又sin α＝，∴cos α＝， ∴sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×＝. ∴β＝.] [规律方法]　1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结

11、合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解． 2．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． 3．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角． 三角变换的简单应用 　(1)(20xx·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　) A． B．1 C． D． (2)已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R. ①求f(x)的最小正周期； ②求f(x)在区间上的最大值和最小值． (1)A　[法一：∵f(x)＝s

12、in＋cos ＝＋cos x＋sin x ＝sin x＋cos x＋cos x＋sin x ＝sin x＋cos x＝sin， ∴当x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值. 故选A． 法二：∵＋＝， ∴f(x)＝sin＋cos ＝sin＋cos ＝sin＋sin ＝sin≤. ∴f(x)max＝. 故选A．] (2)①由已知，有 f(x)＝－ ＝－cos 2x ＝sin 2x－cos 2x＝sin. 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. ②因为f(x)在区间上是减函数， 在区间上是增函数， 且f＝－，f＝－，f

13、＝， 所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－. [规律方法]　1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． 2．把形如y＝asin x＋bcos x的函数化为y＝sin(x＋φ)的形式，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性． [变式训练2]　(20xx·北京高考)已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求证：当x∈时，f(x)≥－. [解]　(1)f(x)＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x ＝sin 2x＋cos 2x＝sin， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)证明：因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤， 所以sin≥sin＝－， 所以当x∈时，f(x)≥－.