高考数学一轮复习学案训练课件北师大版理科： 第5章 数列 第3节 等比数列及其前n项和学案 理 北师大版

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1、 高考数学精品复习资料 2019.5 第三节　等比数列及其前n项和 [考纲传真]　(教师用书独具)1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系． (对应学生用书第84页) [基础知识填充] 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表

2、达式为＝q(n∈N＋，q为非零常数)． (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，那么G叫作a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔G2＝ab. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1. (2)前n项和公式： Sn＝ 3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N＋)． (2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N＋)，则am·an＝ap·aq＝a； (3)若数列{an}，{

3、bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列； (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　) (2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　　) (3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　) (4)数列{an}

4、的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝(　　) A．－　　 B．－2　　　　C．2　　　　D. D　[由通项公式及已知得a1q＝2①，a1q4＝，② 由②÷①得q3＝，解得q＝.故选D.] 3．(20xx·北京高考)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________. 1　[设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q， 则由a4＝a1

5、＋3d，得d＝＝＝3， 由b4＝b1q3得q3＝＝＝－8，∴q＝－2. ∴＝＝＝1.] 4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________． 27,81　[设该数列的公比为q，由题意知， 243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3. ∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.] 5．(20xx·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝__________. 6　[∵a1＝2，an＋1＝2an， ∴数列{an}是首项为

6、2，公比为2的等比数列． 又∵Sn＝126，∴＝126，解得n＝6.] (对应学生用书第85页) 等比数列的基本运算 　(1)在等比数列{an}中，a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为(　　) A．1　　　　　 B．－ C．1或－ D．－1或 (2)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于__________． (1)C　(2)2n－1　[(1)根据已知条件得 ②÷①得＝3. 整理得2q2－q－1＝0， 解得q＝1或q＝－. (2)设等比数列的公比为q，则有 解得或 又{an}

7、为递增数列，∴∴Sn＝＝2n－1.] [规律方法]　解决等比数列有关问题的两种常用思想 (1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解. (2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝. [跟踪训练]　(1)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔

8、的顶层共有灯(　　) A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 (2)(20xx·广州综合测试(二))在各项都为正数的等比数列{an}中，已知a1＝2，a＋4a＝4a，则数列{an}的通项公式an＝________. 【导学号：79140176】 (3)(20xx·洛阳统考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋8a4＝0，则＝(　　) A．－ B． C. D． (1)B　(2)2　(3)C　[(1)设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2， 所以S7＝＝＝381，解得a1＝3. 故选B. (2)设数

9、列{an}的公比为q(q＞0)，由a＋4a＝4a，an＞0，得(anq2)2＋4a＝4(anq)2，整理得q4－4q2＋4＝0，解得q＝或q＝－(舍去)，所以an＝2×2＝2. (3)在等比数列{an}中，因为a1＋8a4＝0，所以q＝－，所以＝＝＝＝.] 等比数列的判定与证明 　(20xx·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)若S5＝，求λ. [解]　(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1， 故λ≠1，a1＝，故a1≠0. 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1

10、＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan， 即an＋1(λ－1)＝λan. 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝. 因此{an}是首项为，公比为的等比数列， 于是an＝. (2)由(1)得Sn＝1－. 由S5＝得1－＝，即＝. 解得λ＝－1. [规律方法]　等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N＋)，则{an}是等比数列. (2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a＝an·an＋2(n∈N＋)，则数列{an}是等比数列. (3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N＋)，

11、则{an}是等比数列. 易错警示：(1)前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的判定. (2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可. [跟踪训练]　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． [解]　(1)证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2， 有a1＋a2＝S2＝4a1＋2. ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3. 又 ①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)， ∴an＋1－2an＝

12、2(an－2an－1)(n≥2)． ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)， 故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列． (2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1， ∴－＝， 故是首项为，公差为的等差数列． ∴＝＋(n－1)·＝， 故an＝(3n－1)·2n－2. 等比数列的性质及应用 　(1)已知各项不为0的等差数列{an}满足a6－a＋a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2b8b11＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 (2)已知{an}为各项都是正数的等比数列，Sn为其

13、前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝(　　) 【导学号：79140177】 A．150 B．－200 C．150或－200 D．400或－50 (1)D　(2)A　[(1)由等差数列的性质，得a6＋a8＝2a7.由a6－a＋a8＝0，可得a7＝2，所以b7＝a7＝2.由等比数列的性质得b2b8b11＝b2b7b12＝b＝23＝8. (2)依题意，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30.又S20＞0，因此S20＝30，

14、S20－S10＝20，所以S40－S30＝S10×＝80，S40＝S30＋(S40－S30)＝70＋80＝150.] [规律方法]　1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度. 2.等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. [跟踪训练]　(1)(20xx·海口调研)在各项均为正数的等比数列{an}中，若am·am＋

15、2＝2am＋1(m∈N＋)，数列{an}的前n项积为Tn，且T2m＋1＝128，则m的值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 (2)(20xx·合肥二检)等比数列{an}满足an＞0，且a2a8＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝________. (1)A　(2)9　[(1)因为am·am＋2＝2am＋1，所以a＝2am＋1，即am＋1＝2，即{an}为常数列．又T2m＋1＝(am＋1)2m＋1，由22m＋1＝128，得m＝3，故选A. (2)由题意可得a2a8＝a＝4，a5＞0，所以a5＝2，则原式＝log2(a1a2……a9)＝9log2a5＝9.]