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1、
高考数学精品复习资料
2019.5
（四）直线与圆、圆与圆的位置关系
一、知识归纳：
（一）直线和圆的位置关系
1．直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系.
①Δ＞0，直线和圆相交；②Δ=0，直线和圆相切；③Δ＜0，直线和圆相离.
方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.
①d＜R，直线和圆相交；②d=R，直线和圆相切；③d＞R，直线和圆相离.
2．直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已
2、知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.
3．直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.
（二）圆与圆的位置关系
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，。
；；；
；
二、学习要点：
1.有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定.
2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形.
3.有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应
3、用.
4.在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，经常要用到距离，因此，两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应熟练掌握，灵活运用.
三、例题分析：
例1、已知一个圆和轴相切，在直线上截得的弦长为，且圆心在直线上，求圆的方程。
例2．从点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆
相切，求光线所在直线的方程.
例3、已知m∈R，直线l：和圆C：。
（1）求直线l斜率的取值范围；
（2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？
例4．已知圆A的圆心在曲线上，圆A
4、与y轴相切，又与另一圆
相外切，求圆A的方程.
P
M
N
O1
O2
例5．如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程
四、练习题
（一）选择题
1．设，则直线与圆的位置关系为
A．相切 B．相交 C．相切或相离 D．相交或相切
2．已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为｜a｜、｜b｜、｜c｜
的三角形
A．是锐角三角形
5、 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在
3．设直线过点，其斜率为1, 且与圆相切,则的值为
A．± B．±2 C．±2 D．±4
4．“”是“直线与圆相切”的
A充分而不必要条件． B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.若直线始终平分圆的周长,则
的最小值为
A． B． C． D．
7．圆与圆的位置关系是：
A．外切
6、 B．内切 C．相交 D．外离
8．在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
9．若圆（x－3）2＋（y+5）2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y=2的距离等于1，则半径r的范围是
A.（4，6） B.［4，6） C.（4，6］ D.［4，6］
10．一动圆与圆x2+y2=1和x2+y2－8x+12=0都相切，则动圆圆心轨迹为
A．.圆
7、B．椭圆 C．双曲线一支 D．抛物线
（二）填空题：
11．设为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为 _ .
12．已知圆和直线. 若圆与直线没有公共
点，则的取值范围是 .
13．设直线与圆相交于、两点，且弦 的长为
，则___．
14．过点（1，）的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直
线l的斜率k＝ ．
（三）解答题：
15．圆内有一点，AB为经过点P且倾斜角为的弦。
（1）当时，求弦AB的长；（2）当弦AB被点P平分时求直线AB的方程。
8、
16．已知圆： （1）求圆心的坐标及半径的大小；
（2）若不过原点的直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，求直线的方程；
（3）从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且，求点的轨迹方程。
17．已知直线与圆交于两点，为坐标原点，求的值。
18 在平面直角坐标系中，已知圆和圆.
（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与
圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试
求所有满足条件的点P的坐标
9、。
19．已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求
（1）的最大值和最小值；（2）y－x的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.
（四）直线与圆、圆与圆的位置关系参考答案
三、例题分析：
例1.解：设所求圆的方程为：，则有
解方程组得或，
则所求圆的方程为或
例2解：圆（x－2）2＋（y－2）2＝1关于x轴的对称方程是（x－2）2＋（y＋2）2＝1.
设l方程为y－3＝k（x＋3），由于对称圆心（2，－2）到l的距离为圆的半径1，
从而可得，化简得：，解得k1＝－，k2
10、＝－．
故所求l的方程是3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.
例3、（1）直线的方程可化为，此时斜率
因为，所以，当且仅当时等号成立
所以，斜率k的取值范围是；
（2）不能.由（１知的方程为，其中；
圆Ｃ的圆心为，半径；圆心Ｃ到直线的距离
由，得，即，从而，若与圆Ｃ相交，则圆Ｃ截直线所得
的弦所对的圆心角小于，所以不能将圆Ｃ分割成弧长的比值为的两端弧；
（4）解析：两圆为，，
，，则，两圆相交。选B
例4解：设圆A的方程为
则有解得或
则圆A的方程为或
例5．解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
则
11、O1（-2，0），O2（2，0），由已知：ＰＭ＝,即 ＰＭ２＝２ＰＮ２，
P
M
N
O1
O2
O
y
x
因为两圆的半径都为1,所以有：，设P（x,y）
则（x+2）2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1]， 即
综上所述，所求轨迹方程
（或）
四、练习题
一、选择题 1~10 CBB4C 6BBA10
解析：
1．解析
圆心到直线的距离为d=，圆半径为. ∵，
∴直线与圆的位置关系是相切或相离. 选C
2．解析：由题意得=1，即c2=a2+b2，∴由｜a｜、｜b｜、｜c｜构成的三角形为直角三角形
12、. 选B
3．解析：设直线过点(0，a)，其斜率为1， 且与圆x2+y2=2相切，设直线方程为，圆心(0，0)道直线的距离等于半径，∴ ，∴ a 的值±2，选B．
8．解析：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求. 选B
9．数形结合法解. 选A
二、填空题：
11． 1_ . 12． (0, ) . 13．__0__14． k＝
11．解析：圆心（0，0）到直线3x－4y－10=0的距离d==2.
再由d－r=2－1=1，知最小距离为1. 答案：1
12．解：由题意知，圆心(-5,0) 到直线 l:3x+y+5=
13、0 的距离 d 必须大于圆的半径 ．因为d＝，所以0＜r＜．从而应填(0, )．
13．解析：设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则圆心(1，2)到直线的距离等于1，，0．
14． (数形结合)由图形可知点A在圆的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线,所以
三、解答题：
15．解：（1）直线AB的方程是：，则圆心到直线的距离是
由勾股定理
（2）当弦AB被点P平分时，有，则
由直线方程的点斜式，可得直线AB的方程为：
16．解：（1）圆的方程可化为：，则圆心坐标为，半径
（2）依题意，可设直线的方程为，则由，
得或，即直线的方程为或
（3）因
14、为与圆相切，切点为，则有，又
故，即
化简得：，这就是点的轨迹方程
17．解：设，由
得，则
故，即
18【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。
(1)设直线的方程为：，即
由垂径定理，得：圆心到直线的距离，
结合点到直线距离公式，得：
化简得：
求直线的方程为：或，即或
(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
，即：
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心到直
15、线与直线的距离相等。
故有：，
化简得：
关于的方程有无穷多解，有： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解之得：点P坐标为或。
19．解：（1）方程x2+y2－4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆.
设=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由=，解得k2=3. 所以kmax=，kmin=－.
（也可由平面几何知识，有OC=2，OP=，∠POC=60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°解之）
（2）设y－x=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式，得
=，即b=－2±， 故（y－x）min=－2－.
（3）x2+y2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则（x2+y2）max=｜OC′｜=2+， （x2+y2）min=｜OB｜=2－.
高考数学复习 直线与圆、圆与圆的位置关系
