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2019.5
专题升级训练 三角变换、平面向量与解三角形
(时间:60分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)
1.已知=-,则cos α+sin α等于( )
A.- B.
C. D.-
2.在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,c=8,B=60°,则sin A的值是( )
A. B.
C. D.
3.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,向量a,b的夹角为120°,且|b|=2|a|,
2、则向量a与c的夹角为( )
A.60° B.90° C.120° D.150°[来源:]
4.(20xx·陕西,文9)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为( ).
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
5.已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,则等于( )
A.2 B.3 C.4 D.6
6.若0<α<,-<β<0,cos,cos,则cos=( )
A. B.-
C. D.-
二、填空题
3、(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
7.在△ABC中,C为钝角,,sin A=,则角C= ,sin B= .
8.在△ABC中,已知D是边AB上的一点,若=2+λ,则λ= .
9.已知sin α=+cos α,且α∈,则的值为 .
三、解答题(本大题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
10.(本小题满分15分)(20xx·广东肇庆模拟,17)已知函数f(x)=2sin(π-x)+2sin.
(1)若x∈[0,π],求f(x)的值域;
(2)若x0为函数y=f(x)的
4、一个零点,求的值.
11.(本小题满分15分)在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c.已知cos 2A-3cos(B+C)=1.
(1)求角A的大小;
(2)若△ABC的面积S=5,b=5,求sin Bsin C的值.
12.(本小题满分16分)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知m=(2sin(A+C),),n=,且m∥n.
(1)求角B的大小;
(2)若b=1,求△ABC面积的最大值.
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一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)
1.D 解析:由=-可得-(sin α+cos α),
故cos α+sin α=-.
2.
5、D 解析:根据余弦定理得b==7,根据正弦定理,解得sin A=.
3.B 解析:由题意可画出右边的图示,在平行四边形OABC中,[来源:]
因为∠OAB=60°,|b|=2|a|,
所以∠AOB=30°,即AB⊥OB,
即向量a与c的夹角为90°.
4.A 解析:∵,
∴sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A,
即sin(B+C)=sin2A,
即sin A=1,∴A=,故选A.
5.C 解析:∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,
sin(α-β)=sin αcos β-cos αs
6、in β=,
∴sin αcos β=,cos αsin β=,
∴×12=5,
∴原式=lo52=4.
6.C 解析:根据条件可得α+,
所以sin,sin,所以cos=cos=coscos+sinsin.[来源:]
二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
7.150° 解析:由正弦定理知,故sin C=.
又C为钝角,所以C=150°.sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=.
8. 解析:因为=2,所以,
又)=,所以λ=.
9.- 解析:∵sin α-cos α=,
∴(sin α-c
7、os α)2=,
即2sin αcos α=.
∴(sin α+cos α)2=1+.
∵α∈,∴sin α+cos α>0,
∴sin α+cos α=.
则=-.[来源:数理化网]
三、解答题(本大题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
10.解:(1)f(x)=2sin(π-x)+2sin
=2sin x-2cos x=4sin,
令t=x-,则y=4sin t.
∵x∈[0,π],∴t∈,
由三角函数的图象知f(x)∈[-2,4].
(2)∵x0为函数y=f(x)的一个零点,
∴f(x0)=4sin=2sin x0-2cos
8、 x0=0,
∴tan x0=.∴=2-.
11.解:(1)由cos 2A-3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cos A-2=0,
即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得cos A=或cos A=-2(舍去).
因为0<A<π,所以A=.[来源:]
(2)由S=bcsin A=bc·bc=5,得bc=20.
又b=5,知c=4.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21,
故a=.
又由正弦定理得sin Bsin C=sin A·sin A=sin2A=.
12.解:(1)∵m∥n,
∴2sin(A+C)cos 2B,
2sin Bcos B=cos 2B,
sin 2B=cos 2B,易知cos 2B≠0,
∴tan 2B=.
∵0<B<,则0<2B<π,∴2B=.
∴B=.
(2)∵b2=a2+c2-ac,∴a2+c2=1+ac.
∵a2+c2≥2ac,∴1+ac≥2ac.
∴ac≤=2+,当且仅当a=c取等号.
∴S=acsin B=ac≤,
即△ABC面积的最大值为.
高考数学复习 专题三 第2讲 三角变换、平面向量与解三角形
