华东师范大学出版社九年级下册数学知识点总结[共18页]

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1、 华师大版九年级下册数学知识点总结 第二十六章 二次函数 一、二次函数概念： 1、二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零。二次函数的定义域是全体实数。 2、二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2。 ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随

2、的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时，有最小值。 向下 轴 时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大； 时，有最大值。 2. 的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时，有最小值。 向下 轴 时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大； 时，有最大值。 3. 的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时，有最小值。

3、向下 X=h 时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大； 时，有最大值。 4. 的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值。 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值。 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平

4、移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”。 概括成八个字“左加右减，上加下减”。 方法二： ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位， 变成（或） ⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位， 变成（或） 四、二次函数与的比较 从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中。 五、二次函数图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴

5、对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 六、二次函数的性质 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为。 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值。 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为。当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值。 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：（，，为常数，）； 2. 顶点式：（，，为常数，）； 3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式

6、，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 二次函数中，作为二次项系数，显然。 ⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； ⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大。 总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小。 2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴。 ⑴ 在的前提下， 当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；

7、 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧。 ⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即 当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧。 总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置。 的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项 ⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即

8、抛物线与轴交点的纵坐标为负。 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置。 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的。 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法。用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便。一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。 九、二次函数图象的对称 二次函数图

9、象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 2. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 3. 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180） 关于顶点对称后，得到的解析式是； 关于顶点对称后，得到的解析式是。 5. 关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是 根据对称的性质，显然无论作

10、何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变。求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式。 十、二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）： 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况. 图象与轴的交点个数： ① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根。这两点间的距离. ② 当时，图象与轴只有一个交点； ③ 当时，图象与轴没有交点. 当

11、时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有。 2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； 3. 二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式

12、，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 抛物线与轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 抛物线与轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 抛物线与轴无交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. 二次函数图像参考： 十一、函数的应用 二次函数应用 第二十七章：《圆》 一、知识回顾 圆的周长： C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr 圆环面积计算方

13、法：S=πR-πr或S=π（R-r）(R是大圆半径，r是小圆半径） 二、知识要点 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点

14、的轨迹是这条线段的垂直平分线； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 点在圆内； 2、点在圆上 点在圆上； 3、点在圆外 点在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 四、圆与圆的位置关系 外离（图1

15、） 无交点 ； 外切（图2） 有一个交点 ； 相交（图3） 有两个交点 ； 内切（图4） 有一个交点 ； 内含（图5） 无交点 ； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个

16、定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙中，∵∥ ∴弧弧 六、圆心角定理 顶点到圆心的角，叫圆心角。 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①；②； ③；④ 弧弧 七、圆周角定理 顶点在圆上，

17、并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角 ∴ 2、圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角 ∴ 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 即：在⊙中，∵是直径 或∵ ∴ ∴是直径 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角

18、形。 即：在△中，∵ ∴△是直角三角形或 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边形是内接四边形 ∴ 九、切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

19、即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 十、切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴ 平分 十一、圆幂定

20、理 （1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在⊙中，∵弦、相交于点， ∴ （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 即：在⊙中，∵直径， ∴ （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即：在⊙中，∵是切线，是割线 ∴ （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。 即：在⊙中，∵、是割线

21、 ∴ 十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图：垂直平分。 即：∵⊙、⊙相交于、两点 ∴垂直平分 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式： （1）公切线长：中，； （2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。 十四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，. 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：

22、（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 2、圆柱： （1）A圆柱侧面展开图 = B圆柱的体积： （2）A圆锥侧面展开图 = B圆锥的体积： 第二十八章 样本与总体 二.重点、难点： 1.重点： ⑴了解普查与抽样调查的概念，并能根据实际情况确定收集数据的方式； ⑵了解总体、个体、样本等概念，能够指出研究对象的总体、个体与样本； ⑶学会用科学的随机抽样的方法，选取合适的样本进行抽样调查，用样本估计总体； ⑷通过整理和分析数据，准确地作出决

23、策。 2.难点： ⑴正确识别问题中的总体、个体、样本、样本容量等，并能选择合适的样本看总体； ⑵能够对数据的来源，处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的分析。 三.知识梳理： 知识点 内容关注 注意事项 总体、个体、样本、样本容量 总体是考察对象的主体，个体是组成总体的每一个对象，样本是总体中的一部分个体，样本容量是样本包含的个体数量 样本容量是一个样本中个体的数量 普查与抽样调查 普查是对所有对象进行调查，抽样调查是对部分对象进行调查 普查与抽样调查的范围不同 简单的随机抽样 使样本具有代表性，不偏向总体中的某些个体，对每个个体都公平的方法，就是用抽签的方

24、法决定个体进入样本 简单的随机抽样对总体中每个个体来说，被抽到的机会是均等的 随机性 在抽样前，不能预测哪些个体会被抽中，这种不能事先预测结果的特性称为随机性 随机性是抽取样本具有代表性的重要保障 抽样调查的可靠性 用随机抽样的方法获取样本，且样本容量合适时，由样本得出的特性会更接近总体的特性 ⑴样本在总体中需有代表性； ⑵样本容量应该足够大； ⑶样本要避免遗漏某一个群体 借助调查作决策 通过媒体收集信息，将信息进行全面、科学地分析 分析角度不同，得到的结论也会不同 容易误导决策的统计图 媒体中数据很多，有许多有用的信息，但信息不一定可靠，要全面分析 考虑信息的时效性、可靠性和代表性 19