专题54 已知角求三角函数值(解析版)

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1、 专题54 已知角求三角函数值 一、单选题 1．等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是最美的三角形.例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，且每个黄金三角形都是顶角为36的等腰三角形，如图所示：在黄金角形ABC中，，根据这些信息，可求得的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由已知求得，可得的值，再由二倍角的余弦及三角函数的诱导公式求解． 【详解】 由图可知，且， 所以 故选:C. 2．已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用诱导公式先化简整理函数，再利用诱导公式

2、求值即可. 【详解】 由， 利用诱导公式得： ， 所以； 故选：C. 3．（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用诱导公式将化为，再根据两角和的正弦公式可得结果. 【详解】 。 故选：C 【点睛】 关键点点睛：利用诱导公式将化为是解题关键. 4．的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据，将化为，利用同角公式和二倍角的正弦公式可解得结果. 【详解】 因为，所以， 所以， 故选：A 【点睛】 本题考查了同角公式，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题. 5．若，则等于（ ） A． B． C

3、．0 D． 【答案】C 【详解】 . 故选：C. 6．的值是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 变形后，根据两角差的余弦公式计算可得答案. 【详解】 ， 故选：C. 【点睛】 本题考查了两角差的余弦公式，属于基础题. 7．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108的等腰三角形).例如，五角星由五

4、个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先求出，再根据二倍角余弦公式求出，然后根据诱导公式求出. 【详解】 由题意可得：，且， 所以， 所以， 故选：C 【点睛】 本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题. 二、多选题 8．下列选项中，与的值互为相反数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】 先计算已知正弦值，它的相反数等于，逐一计算选项，判断是否相等即可. 【详解】 首先，它的相反数等于，下面计算选项： 对于

5、A，，不相等； 对于B，，相等； 对于C，，相等； 对于D，，不相等； 故选：BC. 【点睛】 本题考查了三角恒等变换的应用，属于基础题. 9．下列选下选项中，值为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】 利用三角恒等变换公式，逐个化简求值，即可得出答案. 【详解】 对于A中. 对于B中原式. 对于C中. 对于D中. 故选：AC. 【点睛】 本题考查三角恒等变换公式，属于容易题. 10．下列四个等式其中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】 根据利用两角和与差的正切、正弦、二倍角公式进行三

6、角恒等变换一一计算可得答案. 【详解】 A选项， 所以正确； B选项，，，所以错误； C选项， ，所以错误； D选项， 所以正确. 故选：AD. 【点睛】 本题考查三角恒等变换，两角和与差的正弦正切公式、二倍角公式等，公式要熟练记忆是解本题的关键. 11．下列化简正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】 利用两角差的余弦公式判断选项A；利用二倍角公式判断选项B；利用两角和的正切公式判断选项C；先利用诱导公式转化，再利用二倍角公式判断选项D. 【详解】 ，故A正确； ，故 B正确； ，故C正确； ，故D

7、不正确. 故选：A B C. 【点睛】 本题主要考查倍角公式和两角和与差公式.属于较易题. 三、解答题 12．已知函数，将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象． （1）求的值； （2）求函数的解析式； （3）若，求． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）利用三角恒等变换公式化简函数得解析式，再代入即可求解； （2）利用图像平移变换“左加右减”即可得到的解析式； （3）由，可求出或，再分类讨论求出． 【详解】 （1） （2）根据图像平移变换可知： （3），，即， 解得：或 所以：或 当时， 当时， 综上可知， 【点睛】

8、方法点睛：本题主要考查函数的图像变换规律，做题时要注意三点： （1）弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像； （2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，先利用诱导公式化为同名函数； （3）由的图像得到的图像时，需平移的单位数应为，而不是． 13．设函数． （1）求； （2）令，若任意、，恒有，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）计算出函数的最小正周期为，计算出的值，由此可求得所求代数式的值； （2）求得，根据题中条件得出，利用诱导公式可得出，结合等式可求得结果. 【详解】 （1）函数的最小正周期为， 则， 又，因此，； （2），

9、 则对任意的、，恒有， ，则， 令，，可得，， 因此，. 【点睛】 关键点点睛：本题的第（1）问在求解函数值时，要分析出函数的最小正周期为，计算出的值，再结合函数的周期进行求解； 本题的第（2）问要将代数式变形为，并由，求得、的值，结合题中信息求解. 14．在中，，，点在边上，，. （1）求； （2）求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据平方和公式算出，根据两角差的正弦公式算出； （2）由正弦定理算出，得到，代入面积公式，即可得出面积值. 【详解】 解：（1）由，知， 则 ， （2）在中，由正弦定理得：，即， 即， 所以， 于是

10、 . 【点睛】 三角形常用面积公式： （1） (表示边上的高)； （2）； （3） (为三角形内切圆半径). 15．已知函数. （1）求f () 的值； （2）求f (x)的最小正周期； （3）当x∈时， 求f (x)的值域. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】 （1）直接代入求解即可；（2）利用两角差的正弦公式以及辅助角公式化简整理得到，即可得出结果；（3）由的范围，结合不等式的性质，得到，利用正弦函数的取值即可得出答案． 【详解】 （1）由， 得； （2） ， 则的最小正周期为； （3）时，， ∴ ． ∴ 的值域为． 16．在中，，

11、，. （1）求； （2）求. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据题意，由正弦定理和大边对大角可求得A，代入，再根据两角和的正弦公式即可求出结果； （2）利用三角形内角和是，由，从而 得出结果. 【详解】 解：（1）由题可知，，，， 由正弦定理得，即：， 解得：， 由可知，于是， 故. （2）在中，， 于是. 【点睛】 关键点点睛：本题考查利用正弦定理解三角形，解题的关键在于：根据三角形中大边对大角从而得出，还考查两角和的正弦公式和三角形内角和的应用，属于基础题. 17．已知.求： （1）的值； （2）的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析

12、】 （1）利用两角和差公式展开整理，根据同角三角函数的基本关系可求的值；（2）根据二倍角公式求出，再利用两角和差公式展开，代入即可得出结论. 【详解】 （1）， 即， 化简得，① 又sin2α+cos2α=1，② 由①②解得cosα=或cosα=， 因为， 所以. （2）因为， cosα=， 所以sinα=， 则cos2α=1-2sin2α=， sin2α=2sinαcosα=， 所以. 【点睛】 本题主要考查了两角和差公式以及二倍角公式.属于较易题. 18．已知向量. （1）求的值； （2）若，且，求. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）

13、对等式进行平方运算，根据平面向量的模和数量积的坐标表示公式，结合两角差的余弦公式直接求解即可； （2）由（1）可以结合同角的三角函数关系式求出的值，再由同角三角函数关系式结合的值求出的值，最后利用两角和的正弦公式求出的值即可. 【详解】 （1）， ； （2）因为， 所以，而， 所以， 因为，， 所以. 因此有. 【点睛】 本题考查了已知平面向量的模求参数问题，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了两角差的余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.属于中档题. 19．已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，，. （

14、1）求A的值； （2）从①，②两个条件中选一个作为已知条件，求的值. 【答案】（1）；（2）选择见解析；. 【分析】 （1）由余弦定理结合已知即得解； （2）选择①，利用正弦定理求出，再利用即得解；选择②，利用即得解. 【详解】 （1）由得： ， 又因为，所以. （2）选择①作为已知条件. 在△中，由，以及正弦定理， 得，解得， 由，得为锐角，所以， 因为在△中，，所以 ， 所以. 选择②作为已知条件， 因为在△中，， 所以 ， 所以. 【点睛】 本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握

15、水平. 20．求下列三角函数值： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用诱导公式，把负角化正角，大角化小角，即可得出结果. （2）利用诱导公式，把负角化正角，大角化小角，即可得出结果. 【详解】 （1） （2） 【点睛】 本题考查了诱导公式的应用，考查了计算能力，属于基础题目. 21．设函数（，，为常数，且，，）的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）设，且，求的值. 【答案】（1） ；（2） 【分析】 （1）由函数图象可得，可得周期为，进而可得，由函数过点，可得，进而可得结果 （2）和角的范围，可得， ，利用两

16、角和的余弦公式可得结果. 【详解】 （1）由图象可知，，， 过点， 可得 （2） 又因为，所以， 【点睛】 本题考查了通过三角函数的图象求解析式，利用三角恒等变换求三角函数值，考查了运算求解能力，属于基础题目. 22．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）0. 【分析】 （1）根据，结合两角和与差的正弦公式化简即可求得答案. （2）根据两角和与差的正切公式求得，进而代入化简即可得出答案. 【详解】 解：（1）由 ． ； （2）由， 可得， 所以 ， 故原式. 【点睛】 本题考查三角函数的化简求值，涉及两角和与

17、差的正弦公式和两角和与差的正切公式的应用，考查化简求值能力. 23．求下列各式的值： （1）； （2）若，求的值． 【答案】（1）4；（2）. 【分析】 （1）先进行通分，然后结合二倍角及辅助角公式进行化简即可求解； （2）展开后结合二倍角公式进行化简，代入即可求解． 【详解】 （1）； （2）若， 则. 【点睛】 本题主要考查了和差角公式、辅助角公式、二倍角公式在三角化简求值中的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 24．已知，，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）先利用同角的三角函数关系解得和，再由，

18、利用正弦的差角公式求解即可； （2）由（1）可得和，利用余弦的二倍角公式求得，再由正切的和角公式求解即可. 【详解】 解：（1）因为， 所以 又，故， 所以， 所以 ； （2）由（1）得，，， 所以， 所以， 因为且， 即，解得， 因为，所以，所以， 所以， 所以. 【点睛】 本题考查已知三角函数值求值，考查三角函数的化简，考查和角公式，二倍角公式，同角的三角函数关系的应用，考查运算能力． 25．已知函数的最小值为-3. （1）求常数k的值，和的对称轴方程； （2）若，且，求的值. 【答案】（1），；（2）. 【分析】 （1）化简求出k的值，再利

19、用正弦函数的对称轴方程，求出的对称轴方程； （2）利用角的配凑得，再利用两角差的余弦公式计算，即可得到答案； 【详解】 时，，； 当时，即为函数的对称轴方程； （2）， ，，， ， . 【点睛】 本题考查两角差的余弦公式、二倍角公式、同角三角函数基本关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意角度范围的限制. 26．求值： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】 （1）利用二倍角的正弦、余弦公式结合辅助角公式化简可得结果； （2）利用两角和正切公式变形，将所求代数式

20、化简计算可得结果； （3）将所求代数式变形为，利用二倍角正弦的降幂公式结合诱导公式化简可求得所求代数式的值. 【详解】 （1） ； （2）， ， 因此，； （3） . 【点睛】 本题考查三角代数式求值，考查二倍角公式、两角和的正切公式的应用，考查计算能力，属于中等题. 27．设函数，． （1）求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）利用辅助角公式化简函数的解析式，然后代值计算可得出的值； （2）由结合可求得的值，再利用两角和的正切公式可求得的值. 【详解】 （1），； （2），所以，又，可知． 故． 【点睛】

21、本题考查三角函数求值，同时也考查了利用两角和的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题. 28．（1） （2）在中，已知，，且角，，满足.求角的大小和边的长； 【答案】（1）2；（2），. 【分析】 （1）先切化弦，再用辅导角公式，分母用倍角公式等三角恒等变换化简求值； （2）对利用倍角公式，降次公式化简，可得， 从而求得，再求余弦定理可求得的长. 【详解】 解：（1）= （2）由，得，又， 得，得，得， 由，得，又，得， ，得， 即， 【点睛】 本题考查了三角恒等变换的化简与求值，辅助角公式，二倍角公式，降次公式，余弦定理，还考查了学生分析推理能力，运算能力

22、，属于中档题. 29．化简下列各式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）2；（3） 【分析】 （1）由题意结合两角差的正弦公式化简即可得解； （2）由题意结合同角三角函数商数关系可得原式，再利用两角和的正弦公式即可得解； （3）由题意结合两角差的正弦公式可得原式，再利用两角和的正弦公式即可得解. 【详解】 （1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 【点睛】 本题考查了三角恒等变换的应用，考查了运算求解能力，关键是对原式进行合理变形，属于中档题. 30．已知函数的周期为，的最大值为，且． （1）求，的值； （2

23、）若，且是方程的两个实根，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据辅助角公式化简，可得()，根据正弦函数周期计算公式求得，根据的最大值为和，联立方程即可求得，的值； （2）根据是方程的两个实根，求得，根据正切两角和公式即可求得的值． 【详解】 （1）() 根据函数的周期为，可得： 解得： 又的最大值为 故① 可得② 由①②解得：或 ， 可得： （2）由（1）得 令 可得或() 或() ，且是方程的两个实根 不妨取， 【点睛】 本题主要考查了求正弦型函数表达式和求三角函数值，解题关键是掌握辅助角公式和正弦函数周期计算公

24、式，及其解三角函数方程的解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题． 31．求下列各式的值. （1）； （2）. 【答案】（1）（2）1 【分析】 （1）利用二倍角的正弦公式化简即可； （2）先切化弦，再利用两角差的正弦公式化简即可. 【详解】 解：（1）原式； （2）原式 【点睛】 本题主要考查了三角函数的化简求值，涉及了二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式，属于常考题. 四、填空题 32．__________. 【答案】 【分析】 将变为然后展开化简. 【详解】 . 故答案为：. 【点睛】 本题

25、考查正弦两角和公式的运用，考查运用公式化简求值，解答时注意观察角度之间的关系，较简单. 33．设，则__________． 【答案】 【分析】 先求出，再计算即得解. 【详解】 由题得 . 所以 . 故答案为：. 【点睛】 本题主要考查辅助角公式和诱导公式的应用，考查差角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 34．求值：=_______ 【答案】 【分析】 根据，代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可. 【详解】 故答案为： 【点睛】 本题主要考查了非特殊角的三角函数化简与求值，需要根据所给的角度与特殊角的关系，并利用三角恒等变换进行求解.属于中档题.