4、c等于 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5． (20xx年高考湖北卷)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于( )
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
第六十七课时 正态分布（课堂探究案）
典型例题
考点1 正态曲线的性质
【典例1】若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为.
(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；
(2)求正态总体在(－4,4)的概率．
【变式1】设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)
5、(σ2>0)的密度函
数图象如图所示，则有 ( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2
B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2
D．μ1>μ2，σ1>σ2
考点2 服从正态分布的概率计算
【典例2】某地区数学考试的成绩X服从正态分布，其密度曲线如图所示．
(1)求总体随机变量的期望和方差；
(2)求成绩X位于区间(52,68)的概率．
【变式2】(1)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2) (σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(2，＋∞)上取值的概率为________．
(2)若X～N，则X落在(－∞，－1]
6、∪[1，＋∞)内的概率为________．
考点3 正态分布的应用
【典例3】已知电灯泡的使用寿命X～N(1 500,1002)(单位：h)．
(1)购买一个灯泡，求它的使用寿命不小于1 400小时的概率；
(2)这种灯泡中，使用寿命最长的占0.15%，这部分灯泡的使用寿命至少为多少小时？
【变式3】在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(100,100)，已知满分为150分．
(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120)内的概率；
(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．
当堂检测
1． 已知三个正态分布密度
7、函数fi(x)＝ (x∈R，i＝1,2,3)
的图象如图所示，则 ( )
A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3
B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3
D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
2． 设随机变量X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(0≤X≤2)的值是 ( )
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
3． 已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X>4)等于 ( )
A．0.158 8 B．0.158
8、 5 C．0.158 6 D．0.158 7
4． 已知随机变量ξ～N(3,22)，若ξ＝2η＋3，则D(η)等于 ( )
A．0 B．1 C．2 D．4
课后拓展案
A组全员必做题
1.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其概率密度函数为f(x)＝e－ (x∈R)，则下列命题不正确的是 ( )
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学成绩标准差为10
2．
9、 设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是，则μ等于 ( )
A．1 B．2 C．4 D．不能确定
3． 随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ<0)＝0.3，则P(ξ<2)＝________.
4.某中学2 000名考生的高考数学成绩近似服从正态分布N(120,100)，则此校数学成绩在140分以上的考生人数约为________．(注：正态总体N(μ，σ2)在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率约为0.9544)．
5.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)
10、．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．
6.商场经营的某种包装大米的质量(单位：kg)服从正态分布X～N(10,0.12)，任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2 kg的概率是________．
B组提高选做题
1.汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N(8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有_
11、_______辆．
2．工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？
3．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人．
求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？
参考答案
预习自测
1．0.1 解析 ∵P(0≤ξ≤2)＝P(－2≤ξ≤0)＝0.4，
∴P(ξ>2)＝(1－20.4)＝0.1.
2． 0.876 4 解析 由正态曲线的对称性知
P(X≥1.54)＝P(X≤－1.54)．
又
12、P(X≥1.54)＝1－P(X<1.54)＝1－0.938 2＝0.061 8
∴P(X≤－1.54)＝0.061 8，
∴P(|X|<1.54)＝P(－1.544)＝0.2，
由题意知图象的对称轴为直线x＝2，P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)
13、－P(ξ>4)＝0.6.
∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝0.3.
典型例题
【典例1】解 (1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由＝，得σ＝4，
故该正态分布的概率密度函数的解析式是
f(x)＝，x∈R.
(2)P(－4
14、典例2】解 (1)从给出的密度曲线图可知，
该正态曲线关于x＝60对称，最大值为，
∴μ＝60，＝，解得σ＝4.
∴f(x)＝，x∈[0,100]，
∴总体随机变量的期望是μ＝60，方差是σ2＝16.
(2)成绩X位于区间(52,68)的概率为
P(μ－2σ2)＝[1－2P(0<ξ<1)]＝(1－0.8)＝0.1.
（2）【答案】0.0026 【解析】∵μ＝0，σ＝，
∴P(X≤－1或x≥1)
＝1－P(－1
15、.0026
【典例3】(1)P(X≥1 400)＝1－P(X<1 400)＝1－
＝＝0.841 3.
(2)设这部分灯泡的使用寿命至少为x0小时，
则x0>1 500，则P(X≥x0)＝0.15%.
P(X－1 500≥x0－1 500)＝＝0.15%，
P(|X－1 500|
16、0.9544.
(2)P(90<ξ<110)＝P(100－10<ξ<100＋10)＝0.6826，
∴P(ξ>110)＝(1－0.6826)＝0.158 7，
∴P(ξ≥90)＝0.6826＋0.158 7＝0.841 3.
∴及格人数为2 0000.841 3≈1 683(人)．
当堂检测
1．D解析 正态分布密度函数f2(x)和f3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又f2(x)的对称轴的横坐标值比f1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数f1(x)和f2(
17、x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.
2． B解析 正态曲线关于直线x＝0对称，∵P(－2≤X≤0)＝0.4，∴P(0≤X≤2)＝0.4.
3．D解析 由于X服从正态分布N(3,1)，
故正态分布曲线的对称轴为x＝3.所以P(X>4)＝P(X<2)，
故P(X>4)＝＝0.158 7.
4． B解析 由ξ＝2η＋3，得D(ξ)＝4D(η)，而D(ξ)＝σ2＝4，
∴D(η)＝1.
A组全员必做题
1.B解析 由密度函数知，均值(期望)μ＝80，标准差σ＝10，又曲线关于直线x＝80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人
18、数相同，所以B是错误的．
2．C解析 根据题意，函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ<0，即ξ>4，根据正态曲线的对称性，当函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是时，μ＝4.
3． 0.7解析 由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P(ξ<2)＝P(ξ<0)＋P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)，
又P(0<ξ<1)＝P(1<ξ<2)＝0.2，所以P(ξ<2)＝0.7.
4.46解析 因为标准差是10，故在区间(120－20,120＋20)之外的概率是1－0.9544，数学成绩在140分以上的概率是＝0.0228，故数学成绩在140分以上的人数为2
19、0000.022846≈46.
5.0.8解析 ∵ξ服从正态分布N(1，σ2)，
∴ξ在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4.
∴ξ在(0,2)内取值的概率为0.4＋0.4＝0.8.
6.0.9544解析 P(9.89)＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1 2
20、000.15＝180(辆)．
2．解 ∵X～N，∴μ＝4，σ＝.
∴不属于区间(3,5)的概率为
P(X≤3)＋P(X≥5)＝1－P(3
新课标高三数学一轮复习 第10篇 正态分布学案 理
