新课标高三数学一轮复习 第10篇 二项式定理学案 理

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1、 高考数学精品复习资料 2019.5 第五十八课时 二项式定理 课前预习案 考纲要求 1.能用计数原理证明二项式定理． 2.对于二项式定理，主要考查利用通项公式求展开式的特定项、求特定项的系数、利用赋值法求二项式展开式系数问题等. 基础知识梳理 1．二项式定理：(a＋b)n＝_________________________________________这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式. 式中的____________叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝

2、___________. 注意：（1）它表示的是二项式的展开式的第项，而不是第项. （2）其中叫二项式展开式第项的二项式系数，而二项式展开式第项的系数是字母幂前的常数. 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为_______. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为 . (3)字母a按 排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到 ；字母b按 排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到 . (4)二项式的系数从，C，一直到 ， . 3．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个

3、二项式系数相等.即. (2)增减性与最大值： 二项式系数C，当k＜时，二项式系数逐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n是偶数时，中间一项______________取得最大值； 当n是奇数时，中间两项__________，__________取得最大值． (3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝ ； C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝ . 4.二项展开式的系数的性质： 对于，； 预习自测 1．(20xx福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )． A．80 B．40 C．

4、20 D．10 2．若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝( )． A．45 B．55 C．70 D．80 3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )． A．9 B．8 C．7 D．6 4．(20xx重庆)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝( )． A．6 B．7 C．8 D．9 5．(20xx安徽)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2

5、1x21，则a10＋a11＝________. 课堂探究案 典型例题 考点1 二项展开式中的特定项或特定项的系数 【典例1】已知的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． 【变式1】（1） (20xx山东)若6展开式的常数项为60，则常数a的值为__ _. （2）已知(1＋x＋x2)的展开式中没有常数项，n∈N*，且2≤n≤8，n= ． 考点2 二项式中的系数与二项式系数 【典例2】（1） 在的二项展开式中，x11的系数是_____. （2）若展开式的二项式系数之和为64，则展开

6、式的常数项为( ) A.10 B.20 C.30 D.120 【变式2】设(x－1)4(x＋2)8＝a0x12＋a1x11＋…＋a11x＋a12，则a0＋a2＋…＋a10＋a12＝____. 考点3 二项式定理中的赋值法的应用 【典例3】二项式(2x－3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和． 【变式3】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a

7、3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 考点4 二项式的和与积 【典例4】在(1＋2x)3(1－x)4的展开式中含x项的系数为________． 【变式4】在x7的展开式中，x4的系数是________(用数字作答)． 考点5 二项式展开式中的最值问题 【典例5】已知n的展开式中前三项的系数成等差数列． (1)求 n 的值； (2)展开式中二项式系数最大的项； (3)展开式中系数最大的项． 【变式5】（1）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最

8、大，则展开式中常数项是（ ） A.-7 B.7 C.-28 D．28 （2）已知二项式，（n∈N）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：1， （1）求展开式中各项的系数和； (2)求展开式中含的项； （3）求展开式中二项式系数最大的项. 当堂检测 1．二项式6的展开式中的常数项是(　　) A．20　　　　　　　　　 B．－20 C．160 D．－160 2．若二项式n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为(　　)．

9、A．6 B．10 C．12 D．15 3.(1－t)3dt的展开式中x的系数是(　　) A．－1 B．1 C．－4 D．4 4．已知8的展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是(　　)． A．28 B．38 C．1或38 D．1或28 5．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和

10、为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为(　　)． A．－150 B．150 C．300 D．－300 6.2n展开式的第6项系数最大，则其常数项为(　　) A．120 B．252 C．210 D．45 课后拓展案 A组全员必做题 ．（20xx新课标Ⅱ）已知的展开式中的系数为,则（　　） A． B． C． D． ．（20xx新课标Ⅰ）设为正整数,展开式的二项式系数的最

11、大值为,展开式的二项式系数的最大值为,若,则（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 ．（20xx大纲）的展开式中的系数是（　　） A． B． C． D． ．（20xx上海春）的二项展开式中的一项是（　　） A． B． C． D． ．（20xx辽宁）使（　） A． B． C． D． ．（20xx陕西）设函数 则当x>0时, 表达式的展开式中常数项为（　　） A．-20 B．20 C．-15 D．15 ．（20xx年高考江西卷（理））(x2-)5展开式中的常数项为（　　） A．80 B．-80 C．40 D．-40 B组提高选做题 1．（20xx上

12、海春季）36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为, 所以36的所有正约数之和为 .参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为_______. 2．（20xx四川）二项式的展开式中,含的项的系数是_________.(用数字作答) 3．（20xx天津）在 的二项展开式中的常数项为______. 参考答案 预习自测 1.B 2.C 3.B 4.B 5.0 典型例题 【典例1】（1）10；（2）；（3），； 【变式1】（1）4；（2）5 【典例2】（①）15;（②）B 【变式2】.8 【典例3】（1）512；（2）；（3

13、） 【变式3】（1）；（2）；（3）；（4） 【典例4】2 【变式4】84 【典例5】（1）8；（2）；（3）， 【变式5】（1）.B （2）.（）1；（）；（） 当堂检测 1．【答案】D 【解析】二项式(2x－)6的展开式的通项是Tr＋1＝C(2x)6－rr＝C26－r(－1)rx6－2r.令6－2r＝0，得r＝3，因此二项式(2x－)6的展开式中的常数项是C26－3(－1)3＝－160. 2．【答案】C 【解析】Tr＋1＝C()n－rr＝(－2)rC，当r＝4时，＝0，又n∈N*，∴n＝12. 3. 【答案】B 【解析】 (1－t)3dt＝＝＋，故这个展开式中x的系

14、数是 －＝1. 4．【答案】C 【解析】由题意知C(－a)4＝1120，解得a＝2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38. 5．【答案】B 【解析】由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4， Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r54－rC， 令4－＝1，得r＝2，T3＝150x. 6【答案】C 【解析】 根据二项式系数的性质，得2n＝10，故二项式2n的展开式的通项公式是 Tr＋1＝C()10－rr＝C，根据题意5－＝0，解得r＝6，故所求的常数项等于C＝C＝210. A组全员必做题 课后拓展案 1.D 2.B 3.D 4.C 5.B 6. A 7.C B组提高选做题 1.4836 2.10 3.15