新课标高三数学一轮复习 第10篇 离散型随机变量的数学期望与方差学案 理

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1、 高考数学精品复习资料 2019.5 第六十六课时 随机变量的数学期望与方差 课前预习案 考纲要求 1.理解随机变量的均值、方差的意义、作用，能解决一些简单的实际问题． 2.理解二项分布、超几何分步的数学期望与方差. 基础知识梳理 1． 离散型随机变量的数学期望与方差 设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn. (1)数学期望： 称E(X)＝ 为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散

2、型随机变量的 ． (2)方差： 称D(X)＝ 叫做这个离散型随机变量X的方差，即反映了离散型随机变量取值相对于期望的 (或说离散程度)， D(X)的算术平方根叫做离散型随机变量X的标准差． 2． 二点分布与二项分布、超几何分布的期望、方差 期望 方差 变量X服从二点分布 X～B(n，p) X服从参数为N，M， n的超几何分布 预习自测 1． 若随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)的值为________. ξ 0

3、 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x 2．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________. 3． 某射手射击所得环数ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为 (　　) A．0.4 B．0.6 C．0.7

4、 D．0.9 4． 已知X的分布列为 X －1 0 1 P 设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为 (　　) A. B．4 C．－1 D．1 5． 设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则 (　　) A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4 C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45 课堂探究案 典型例题 考点1　离散型随机变量的均值、方差 【典例1】(20xx年高考湖北卷)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响

5、如下表： 降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 工期延误天数Y 0 2 6 10 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求： (1)工期延误天数Y的均值与方差； (2)在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率． 【变式1】某中学在高三开设了4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课．对于该年级的甲、乙、丙3名学生，回答下面的问题： (1)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率； (2)某一选修课被这3名学生选修的人数的数学期望．

6、考点2　二项分布的均值、方差 【典例2】某人投弹命中目标的概率p＝0.8. (1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差； (2)求重复10次投弹时命中次数Y的均值和方差． 【变式2】为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E(ξ)＝3，标准差为. (1)求n，p的值并写出ξ的分布列； (2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率． 考点3 　均值与方差的应用 【典例3】现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2

7、万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0

8、的分布列分别为 X1 5% 10% P 0.8 0.2 　 X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 (1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)； (2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值． 当堂检测 1． 已知某一随机变量X的概率分布列如下，且E(X)＝6.3，则a的值为 (　　) X 4 a 9 P

9、 0.5 0.1 b A.5 B．6 C．7 D．8 2．已知X的分布列为 X －1 0 1 P 且Y＝aX＋3，E(Y)＝，则a的值为 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3． 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的期望值为 (　　) A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．2.4 4． 体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发

10、到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 5． 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是________． 6． 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件数，则D(X)＝________. 7．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表： x 1 2 3 P(ξ＝x) ？ ！ ？ 请小牛同学计

11、算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________. 课后拓展案 A组全员必做题 1． 若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1

12、(　　) A. B. C. D. 3． 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则＋的最小值为 (　　) A. B. C. D. 4． 罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E(ξ)＝________. 5． 签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为________． 6．为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训

13、练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士(分别记为A、B、C、D)拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为，，.这三项测试能否通过相互之间没有影响． (1)求A能够入选的概率； (2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望． B组提高选做题 1． 设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取－2，－，－，0，，，2，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________. 2．某市公

14、租房的房源位于A、B、C三个片区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： (1)恰有2人申请A片区房源的概率； (2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望． 3.(20xx年高考新课标全国卷)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． (1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式． (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表： 日需求量n 14 15

15、 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率． ①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差． ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由． 参考答案 预习自测 1．【答案】 【解析】根据概率之和为1，求出x＝，则E(ξ)＝02x＋13x＋…＋5x＝40x＝. 2．【答案】 【解析】由题意知P(X＝0)＝(1－p)2＝，∴p＝. 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3

16、 P E(X)＝0＋1＋2＋3＝. 3．【答案】　A 【解析】　由，可得y＝0.4. 4． 【答案】　A 【解析】　E(X)＝(－1)＋0＋1＝－.∴E(Y)＝2E(X)＋3＝2＋3＝. 5． 【答案】　A 【解析】　∵X～B(n，p)，∴E(X)＝np＝1.6，D(X)＝np(1－p)＝1.28，∴ 典型例题 【典例1】【解析】　(1)由已知条件和概率的加法公式有P(X<300)＝0.3， P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4， P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7

17、＝0.2， P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y的分布列为 Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 于是，E(Y)＝00.3＋20.4＋60.2＋100.1＝3； D(Y)＝(0－3)20.3＋(2－3)20.4＋(6－3)20.2＋(10－3)20.1＝9.8. 故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8. (2)由概率的加法公式，得P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7， 又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)

18、＝P(X<900|X≥300)＝＝＝. 故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是. 【变式1】【解析】　(1)3名学生选择的选修课互不相同的概率：p1＝＝； (2)设某一选修课被这3名学生选择的人数为ξ， 则ξ＝0,1,2,3.P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 数学期望E(ξ)＝0＋1＋2＋3＝. 【典例2】【解析】(1)随机变量X的分布列为 X 0 1 P 0.2 0.8 因为X服从二点分布，故E(X)＝p＝0.8，D(X)＝p(

19、1－p)＝0.80.2＝0.16. (2)由题意知，命中次数Y服从二项分布， 即Y～B(10，0.8)，∴E(Y)＝np＝100.8＝8，D(Y)＝np(1－p)＝100.80.2＝1.6. 探究提高　若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 【变式2】【解析】(1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝，得1－p＝，从而n＝6，p＝. ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 6 P (2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(ξ≤3)，得 P(A)＝＝ 【典例3】【解析】　(1)X1的概率

20、分布列为 X1 1.2 1.18 1.17 P E(X1)＝1.2＋1.18＋1.17＝1.18. 由题设得X～B(2，p)，即X的概率分布列为 X 0 1 2 P (1－p)2 2p(1－p) p2 故X2的概率分布列为 X2 1.3 1.25 0.2 P (1－p)2 2p(1－p) p2 所以E(X2)＝1.3(1－p)2＋1.252p(1－p)＋0.2p2＝1.3(1－2p＋p2)＋2.5(p－p2)＋0.2p2 ＝－p2－0.1p＋1.3. (2)由E(X1)1.18， 整理

21、得(p＋0.4)(p－0.3)<0，解得－0.4

22、Y1)＋2D(Y2) ＝[x2＋3(100－x)2] ＝(4x2－600x＋31002)． 当且仅当x＝＝75时，f(x)＝3为最小值． 当堂检测 1． 【答案】C 【解析】由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4. ∴E(X)＝40.5＋a0.1＋90.4＝6.3，∴a＝7. 2．【答案】B 【解析】先求出E(X)＝(－1)＋0＋1＝－. 再由Y＝aX＋3得E(Y)＝aE(X)＋3.∴＝a＋3.解得a＝2. 3．【答案】C 【解析】X的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为 X 3 2 1 0 P 0.6 0.24 0.096 0

23、.064 ∴E(X)＝30.6＋20.24＋10.096＋00.064＝2.376. 4． 【答案】C 【解析】由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2， 则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，又由p∈(0,1)，可得p∈. 5． 【答案】　0.7 【解析】　E(X)＝10.7＋00.3＝0.7. 6． 【答案】 【解析】由题意知取到次品的概率为，∴X～B，∴D(X)＝3＝. 7．【答案】2 【解析】设

24、“？”处的数值为x，则“！”处的数值为1－2x，则E(ξ)＝1x＋2(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2. A组全员必做题 1． 【答案】C 【解析】分析已知条件，利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式得： 解得或又∵x10，也就是a，b必须同号， ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P ∴E(ξ)＝0＋1＋2＝. 3． 【答案】D 【解析】由已知得，3a＋2b＋0c＝2，即3a＋2b＝2，其中0

25、＋2＝， 当且仅当＝，即a＝2b时取“等号”，又3a＋2b＝2， 即当a＝，b＝时，＋的最小值为，故选D. 4．【答案】 【解析】因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连续摸4次(做4次试验)，ξ为取得红球(成功)的次数，则ξ～B，从而有E(ξ)＝np＝4＝. 5．【答案】5.25 【解析】由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.由数学期望的定义可求得E(X)＝5.25. 6．解　(1)设A通过体能、射击、反应分别记为事件M、N、P，则A能够入选包含以下几个互斥事件：MN，MP，

26、NP，MNP. ∴P(A)＝P(MN)＋P(MP)＋P(NP)＋P(MNP)＝＋＋＋＝＝. 答　A能够入选的概率为. (2)P(没有入选任何人)＝4＝，P(入选了一人)＝C3＝， P(入选了两人)＝C22＝，P(入选了三人)＝C3＝， P(入选了四人)＝C4＝， 记ξ表示该训练基地得到的训练经费，该基地得到训练经费的分布列为 ξ 0 3 000 6 000 9 000 12 000 P E(ξ)＝3 000＋6 000＋9 000＋12 000＝8 000(元) 所以，该基地得到训练经费的数学期望为8 000元． B组提高选做题 1．【

27、答案】 【解析】当l的斜率k为2时，直线l的方程为2x－y＋1＝0，此时坐标原点到l的距离d＝；当k为时，d＝；当k为时，d＝；当k为0时，d＝1，由古典概型的概率公式可得分布列如下： ξ 1 P 所以E(ξ)＝＋＋＋1＝. 2．解　(1)方法一　所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有C22种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为＝. 方法二　设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验． 记“申请A片区房源”为事件A，则P(A)＝. 从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率

28、为 P4(2)＝C22＝. (2)ξ的所有可能值为1,2,3.又P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝ ， P(ξ＝3)＝＝. 综上知，ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P 从而有E(ξ)＝1＋2＋3＝. 3解　(1)当日需求量n≥16时，利润y＝80.当日需求量n<16时，利润y＝10n－80. 所以y关于n的函数解析式为y＝(n∈N)． (2)①X可能的取值为60,70,80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7. X的分布列为 X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 X的数学期望为E(X)

29、＝600.1＋700.2＋800.7＝76. X的方差为D(X)＝(60－76)20.1＋(70－76)20.2＋(80－76)20.7＝44. ②法一　花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下： 若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为 Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 Y的数学期望为E(Y)＝550.1＋650.2＋750.16＋850.54＝76.4. Y的方差为D(Y)＝(55－76.4)20.1＋(65－76.4)20.2＋(75－76.4)20.16＋(85－76.4)20.54＝112.

30、04. 由以上的计算结果可以看出，D(X)