新课标高三数学一轮复习 第10篇 第5节 古典概型与几何概型课时训练 理

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1、 高考数学精品复习资料 2019.5 【导与练】（新课标）20xx届高三数学一轮复习 第10篇 第5节 古典概型与几何概型课时训练 理 【选题明细表】 知识点、方法 题号 简单的古典概型 1、9、11 古典概型与其他知识的综合 4、7、10、15、16 与长度(角度)相关的几何概型 2、8 与面积(体积)相关的几何概型 3、5、6、12、13、14、16 一、选择题 1.(20xx兰州模拟)将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,向量p=(m,n),q=(

2、3,6).则向量p与q共线的概率为(　D　) (A)13 (B)14 (C)16 (D)112 解析:由题意可得:基本事件(m,n)(m,n=1,2,…,6)的个数=66=36. 若p∥q,则6m-3n=0,得到n=2m.满足此条件的共有(1,2),(2,4),(3,6)三个基本事件.因此向量p与q共线的概率为P=336=112. 2.在长为12 cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,则此正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为(　A　) (A)14 (B)13 (C)427 (D)415 解析:由题意可知6≤AM≤9, 于是所求概率为P=9-612

3、=14. 故选A. 3.(20xx河南三市联考)在区间[-π,π]内随机取两个数分别为a,b,则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点的概率为(　B　) (A)1-π8 (B)1-π4 (C)1-π2 (D)1-3π4 解析:函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点,需Δ=4a2-4(-b2+π2)≥0,即a2+b2≥π2成立.而a,b∈[-π,π],建立平面直角坐标系,满足a2+b2≥π,点(a,b)如图阴影部分所示,所求事件的概率为P=2π2π-π32π2π=4π2-π34π2=1-π4. 4.抛掷两枚均匀的骰子,得到的点数分别为a,b,那么直线xa+yb=1

4、的斜率k≥-12的概率为(　D　) (A)12 (B)13 (C)34 (D)14 解析:记a,b的取值为数对(a,b),由题意知(a,b)的所有可能取值有36种.由直线xa+yb=1的斜率k=-ba≥-12,知ba≤12,那么满足题意的(a,b)可能的取值为(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1), (6,2),(6,3),共有9种,所以所求概率为936=14. 5.在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点P,则点P到正方体各面的距离都不小于1的概率为(　A　) (A)127 (B)2627 (C)827 (D)18 解析:正

5、方体中到各面的距离不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合,且棱长为1的正方体,该正方体的体积是V1=13=1,而原正方体的体积为V=33=27,故所求的概率为P=V1V=127. 6.(20xx高考湖北卷)由不等式组x≤0,y≥0,y-x-2≤0确定的平面区域记为Ω1,不等式组x+y≤1,x+y≥-2确定的平面区域记为Ω2.在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为(　D　) (A)18 (B)14 (C)34 (D)78 解析:由题意作图,如图所示,Ω1的面积为1222=2,图中阴影部分的面积为2-122222=74,则所求概率P=742=78. 7.(20xx宁波模

6、拟)设a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,8,12},则函数f(x)=x3+ax-b在区间[1,2]上有零点的概率为(　C　) (A)12 (B)58 (C)1116 (D)34 解析:因为f(x)=x3+ax-b,所以f′(x)=3x2+a.因为a∈{1,2,3,4},因此f′(x)>0,所以函数f(x)在区间[1,2]上为增函数.若存在零点,则f(1)≤0,f(2)≥0,解得a+1≤b≤8+2a.因此可使函数在区间[1,2]上有零点的有a=1,2≤b≤10,故b=2,b=4,b=8;a=2,3≤b≤12,故b=4,b=8,b=12;a=3,4≤b≤14,故b=4,b=8,b=12;a

7、=4,5≤b≤16,故b=8,b=12.根据古典概型可得有零点的概率为1116. 二、填空题 8.在区间[0,10]上任取一个实数a,使得不等式2x2-ax+8≥0在(0,+∞)上恒成立的概率为　　　　. 解析:要使2x2-ax+8≥0在(0,+∞)上恒成立,只需ax≤2x2+8,即a≤2x+8x在(0,+∞)上恒成立.又2x+8x≥216=8,当且仅当x=2时等号成立,故只需a≤8,因此0≤a≤8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为8-010-0=45. 答案:45 9.从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为22的概率是　　　　.

8、 解析:如图,在正方形ABCD中,O为中心,从O,A,B,C,D这五点中任取两点的情况有C52=10种. ∵正方形的边长为1,∴两点距离为22的情况有(O,A),(O,B),(O,C),(O,D)4种,故P=410=25. 答案:25 10.曲线C的方程为x2m2+y2n2=1,其中m、n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数,事件A=“方程x2m2+y2n2=1表示焦点在x轴上的椭圆”,那么P(A)=　　　. 解析:试验中所含基本事件个数为36;若想表示椭圆,则前后两次的骰子点数不能相同,则去掉6种可能,既然椭圆焦点在x轴上,则m>n,又只剩下一半情况,即有15种. 因此P(A)=153

9、6=512. 答案:512 11.(20xx高考浙江卷)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等),这2名都是女同学的概率等于　　　　. 解析:用A,B,C表示三名男同学,用a,b,c表示三名女同学,则从6名同学中选出2人的所有选法为:AB,AC,Aa,Ab,Ac,BC,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,ab,ac,bc,共15种选法,其中都是女同学的选法有3种,即ab,ac,bc,故所求概率为315=15. 答案:15 12.(20xx长沙模拟)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P,

10、则点P到O的距离大于1的概率为　　　　. 解析:V正方体=23=8,V半球=1243π13=23π,V半球V正方体=2π83=π12,∴P=1-π12. 答案:1-π12 13.(20xx北京模拟)将一个质点随机投放在关于x,y的不等式组3x+4y≤19,x≥1,y≥1所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是　　　　. 解析:画出关于x,y的不等式组3x+4y≤19,x≥1,y≥1,所构成的三角形区域,如图,三角形ABC的面积为S1=1234=6,离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S2=12π,所以其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为P=1

11、-π26=1-π12. 答案:1-π12 14.(20xx高考福建卷)如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为　　　　. 解析:因为函数y=ex与函数y=ln x互为反函数,其图象关于直线y=x对称, 又因为函数y=ex与直线y=e的交点坐标为(1,e), 所以阴影部分的面积为 2(e1-01 exdx)=2e-2ex︱01=2e-(2e-2)=2, 由几何概型的概率计算公式, 得所求的概率P=S阴影S正方形=2e2. 答案:2e2 三、解答题 15.(20xx洛阳模拟)现有一批产品共有10件,其中8件为正品,2件为

12、次品. (1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续3次取出的都是正品的概率. (2)如果从中一次取3件,求3件都是正品的概率. 解:(1)有放回地抽取3次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则x,y,z都有10种可能, 所以基本事件总数为101010=103(种); 设事件A为“连续3次都取出正品”,则包含的基本事件共有888=83种, 因此P(A)=83103=0.512. (2)可以看作不放回抽样3次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z), 则x有10种可能,y有9种可能,z有8种可能, 所以基本事件总数为1098. 设事件B为“3件都是正品”,

13、 则事件B包含的基本事件总数为876, 所以P(B)=8761098=715. 16.设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数,若对任意x∈[1,2],都有|f(x)+g(x)|≤8,则称f(x)和g(x)是“友好函数”,设f(x)=ax,g(x)=bx. (1)若a∈{1,4},b∈{-1,1,4},求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率; (2)若a∈[1,4],b∈[1,4],求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率. 解:(1)设事件A表示f(x)和g(x)是“友好函数”, 则|f(x)+g(x)|(x∈[1,2])所有的情况有 x-1x,x+1x,x+4x

14、,4x-1x,4x+1x,4x+4x, 共6种且每种情况被取到的可能性相同. 又当a>0,b>0时ax+bx在(0,ba)上递减,在(ba,+∞)上递增; x-1x和4x-1x在(0,+∞)上递增, ∴对x∈[1,2]可使|f(x)+g(x)|≤8恒成立的有x-1x,x+1x,x+4x,4x-1x, 故事件A包含的基本事件有4种, ∴P(A)=46=23, 故所求概率是23. (2)设事件B表示f(x)和g(x)是“友好函数”, ∵a是从区间[1,4]中任取的数,b是从区间[1,4]中任取的数,∴点(a,b)所在区域是长为3,宽为3的矩形区域. 要使x∈[1,2]时,|f(x)+g(x)|≤8恒成立, 需f(1)+g(1)=a+b≤8且f(2)+g(2)=2a+b2≤8, ∴事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分. ∴P(B)=12(2+114)333=1924, 故所求的概率是1924.