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1、
高考数学精品复习资料
2019.5
【导与练】（新课标）20xx届高三数学一轮复习 第13篇 第2节 参数方程课时训练 理
【选题明细表】
知识点、方法
题号
参数方程与普通方程互化
1、5、9
参数方程及其应用
2、3、10、12
极坐标方程与参数方程的综合
4、6、7、8、11、12
一、选择题
1.(20xx北京模拟)参数方程x=2-t,y=-1-2t(t为参数)与极坐标方程ρ=sin θ所表示的图形分别是( B )
(A)直线、直线 (B)直线、圆
(C)圆、圆 (D)圆、直线
2、解析:将参数方程x=2-t,y=-1-2t消去参数t得2x-y-5=0,所以对应图形为直线.
由ρ=sin θ得ρ2=ρsin θ,
即x2+y2=y,
即x2+（y-12）2=14,对应图形为圆.
2.(20xx安庆模拟)若直线x=tcosα,y=tsinα(t是参数)与圆x=4+2cosθ,y=2sinθ(θ是参数)相切,则直线的倾斜角α为( C )
(A)π6 (B)5π6 (C)π6或5π6 (D)π2
解析:直线x=tcosα,y=tsinα(t是参数)的普通方程为y=xtan α,
圆x=4+2cosθ,y=2sinθ(θ是参数)的普通方程为(x-4)2+y2=4,
3、
由于直线与圆相切,
则|4tanα|1+tan2α=2,即tan2α=13,
解得tan α=33,
由于α∈[0,π),
故α=π6或5π6.
3.(20xx高考安徽卷)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是x=t+1,y=t-3(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cos θ,则直线l被圆C截得的弦长为( D )
(A)14 (B)214 (C)2 (D)22
解析:直线l的参数方程化为普通方程是x-y-4=0,圆C的直角坐标方程是(x-2)2+y2=4,圆心(2,0)到直线l的距离d=|2-0-
4、4|2=2,而圆C的半径为2,所以直线l被圆C截得的弦长为24-2=22,故选D.
4.在极坐标系中,以极点为原点,极轴为x轴的正方向,将曲线x=3cosθ,y=2sinθ按伸缩变换φ:x=13x,y=12y变换后得到曲线C,则曲线C上的点到直线ρ(cos θ+3sin θ)=6的距离的最小值是( B )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:将曲线x=3cosθ,y=2sinθ按φ:x=13x,y=12y变换得到曲线C:x=cosθ,y=sinθ,
化为普通方程为x′2+y′2=1,
直线ρ(cos θ+3sin θ)=6的直角坐标方程为
x+3y-6=0,
圆心(0,
5、0)到直线的距离为d=61+(3)2=3>r=1,所以直线与圆相离,圆上的点到直线的距离的最小值为2.
二、填空题
5.(20xx高考湖北卷)已知曲线C1的参数方程是x=t,y=3t3(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.则C1与C2交点的直角坐标为 .
解析:由题意,得x=t,y=3t3(t为参数)⇒x2=3y2(x≥0,y≥0),曲线C2的普通方程为x2+y2=4,联立x2+y2=4,x2=3y2,
得x=3,y=1,即C1与C2的交点的直角坐标为(3,1).
答案:(3,1)
6.(20xx广州模拟)已知曲线C的参
6、数方程是x=cosα,y=1+sinα(α为参数),以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并取相同的长度单位建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程是 .
解析:曲线C的参数方程为x=cosα,y=1+sinα(α为参数),它表示以点(0,1)为圆心,以1为半径的圆,则曲线C的标准方程为x2+(y-1)2=1,化为一般方程即x2+y2-2y=0,化为极坐标方程得ρ2-2ρsin θ=0,即ρ2=2ρsin θ,两边约去ρ得ρ=2sin θ.
答案:ρ=2sin θ
7.(20xx高考重庆卷)已知直线l的参数方程为x=2+t,y=3+t(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为
7、极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l与曲线C的公共点的极径ρ= .
解析:依题意,直线l与曲线C的直角坐标方程分别是x-y+1=0,y2=4x.
由x-y+1=0,y2=4x得x2-2x+1=0,
解得x=1,则y=2,
因此直线l与曲线C的公共点的直角坐标是(1,2),该点与原点的距离为12+22=5,
即直线l与曲线C的公共点的极径ρ=5.
答案:5
8.若直线l的极坐标方程为ρcosθ-π4=32,圆C:x=cosθ,y=sinθ(θ为参数)上的点到直线l的距离为d,则d的最大值为 .
解析:∵
8、ρcos（θ-π4）=32,
∴ρcos θ+ρsin θ=6,
∴直线l的直角坐标方程为x+y=6.
由圆C的参数方程知圆C的圆心为C(0,0),半径r=1.
圆心C(0,0)到直线l的距离为62=32.
∴dmax=32+1.
答案:32+1
三、解答题
9.(20xx高考福建卷)已知直线l的参数方程为x=a-2t,y=-4t(t为参数),圆C的参数方程为x=4cosθ,y=4sinθ(θ为参数).
(1)求直线l和圆C的普通方程;
(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.
解:(1)直线l的普通方程为2x-y-2a=0,
圆C的普通方程为x2+y2=16
9、.
(2)因为直线l与圆C有公共点,
故圆C的圆心到直线l的距离d=|-2a|5≤4,
解得-25≤a≤25.即a的取值范围为[-25,25].
10.(20xx高考新课标全国卷Ⅱ)已知动点P,Q都在曲线C:x=2cost,y=2sint(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.
(1)求M的轨迹的参数方程;
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.
解:(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),
因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).
10、M的轨迹的参数方程为x=cosα+cos2α,y=sinα+sin2α(α为参数,0<α<2π).
(2)M点到坐标原点的距离
d=x2+y2=2+2cosα(0<α<2π).
当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.
11.(20xx保定模拟)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2+t,y=t+1(t为参数),以该直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系下,曲线P的方程为ρ2-4ρcos θ+3=0.
(1)求曲线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程.
(2)设曲线C和曲线P的交点为A,B,求|AB|.
解:(1)曲线C的普通方程为x-y-1=0,曲线P的
11、直角坐标方程为x2+y2-4x+3=0.
(2)曲线P可化为(x-2)2+y2=1,表示圆心在(2,0),半径r=1的圆,
则圆心到直线C的距离为d=|1|2=22,
所以|AB|=2r2-d2=2.
12.(20xx高考辽宁卷)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
(1)写出C的参数方程;
(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上的点(x,y),依题意,得x=x1,y=2y1,
由x12+y12=1得x2+（y2）2=1,
即曲线C的方程为x2+y24=1.
故C的参数方程为x=cost,y=2sint(t为参数).
(2)由x2+y24=1,2x+y-2=0解得x=1,y=0或x=0,y=2.
不妨设P1(1,0),P2(0,2),
则线段P1P2的中点坐标为（12,1）,
所求直线斜率为k=12,
于是所求直线方程为y-1=12（x-12）,
化为极坐标方程,并整理得
2ρcos θ-4ρsin θ=-3,
即ρ=34sinθ-2cosθ.
新课标高三数学一轮复习 第13篇 第2节 参数方程课时训练 理
