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1、△+△2019年数学高考教学资料△+△
考点一[来源:]
确定函数零点所在区间
[例1] (1)(2014·西安模拟)函数f(x)＝＋ln的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(1,2)与(2,3)
(2)(2013·重庆高考)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b
2、)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
[自主解答] (1)f(x)＝＋ln＝－ln(x－1)．
当1<x<2时，ln(x－1)<0，>0，所以f(x)>0，故函数f(x)在(1,2)上没有零点．
f(2)＝1－ln 1＝1，f(3)＝－ln 2＝＝，
∵＝2≈2.828>e，∴8>e2，即ln 8>2，即f(3)<0，
又f(4)＝－ln 3<0，
∴f(x)在(2,3)内存在一个零点．
(2)易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c
3、－a)(c－b)．又a<b<c，则f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且开口向上，可知两根分别在(a，b)和(b，c)内．
[答案] (1)B (2)A
【方法规律】
判断函数零点所在区间的方法
判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．
1．(2014·嘉兴模拟)方程log3x＋x＝3的根所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
4、 C．(2,3) D．(3,4)
解析：选C 法一：方程log3x＋x＝3的根即是函数f(x)＝log3x＋x－3的零点，由于f(2)＝log32＋2－3＝log32－1<0，[来源:]
f(3)＝log33＋3－3＝1>0且函数f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数．
∴函数f(x)的零点即方程log3x＋x＝3的根所在区间为(2,3)．
法二：方程log3x＋x＝3的根所在区间即是函数y1＝log3x与y2＝3－x交点横坐标所在区间，两函数图象如图所示．
由图知方程log3x＋x＝3的根所在区间为(2,3)．[来源:]
2．在下列区间中，函数f(x)＝e
5、－x－4x－3的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
解析：选B 易知函数f(x)在R上是单调减函数．对于A，注意到f＝e－4×－3＝e>0，f＝e－4×－3＝e－1>0，因此函数f(x)＝e－x－4x－3的零点不在区间上；对于B，注意到f>0，f＝e－4×－3＝e－2<4－2<0，因此在区间上函数f(x)＝e－x－4x－3一定存在零点；对于C，注意到f<0，f(0)＝－2<0，因此函数f(x)＝e－x－4x－3的零点不在区间上；对于D，注意到f(0)＝－2<0，f＝e－
6、－4×－3＝e－－4<0，因此函数f(x)＝e－x－4x－3的零点不在区间上．
考点二
判断函数零点的个数
[例2] (1)(2014·郑州模拟)函数f(x)＝x2－2x在x∈R上的零点的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
[自主解答] (1)注意到f(－1)×f(0)＝×(－1)<0，因此函数f(x)在(－1,0)上必有零点．又f(2)＝f
7、(4)＝0，因此函数f(x)的零点个数是3.
(2)由f(f(x))＋1＝0可得f(f(x))＝－1.
又由f(－2)＝f＝－1，
可得f(x)＝－2或f(x)＝.
若f(x)＝－2，则x＝－3或x＝；
若f(x)＝，则x＝－或x＝，
综上可得函数y＝f(f(x))＋1有4个零点．
[答案] (1)D (2)A
【互动探究】
若将本例(1)中的函数改为“f(x)＝x－x”，该如何选择？[来源:]
解析：选B 因为y＝x在x∈[0，＋∞)上单调递增，y＝x在x∈R上单调递减，所以f(x)＝x－x在x∈[0，＋∞)上单调递增．又f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，所
8、以f(x)＝x－x在定义域内有唯一零点，故应选B.
【方法规律】
判断函数零点个数的方法[来源:]
(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质；
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
1．(2013·天
9、津高考)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B 易知函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数⇔方程|log0.5x|＝＝x的根的个数⇔函数y1＝|log0.5x|与y2＝x的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点．
2．已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(x－1)－ln x的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C 依题意得，当x－1>0，即x>1时，f(x)＝1－ln x，令f(x)＝
10、0得x＝e>1；当x－1＝0，即x＝1时，f(x)＝0－ln 1＝0；当x－1<0，即x<1时，f(x)＝－1－ln x，令f(x)＝0得x＝<1.因此，函数f(x)的零点个数为3.
高频考点
考点三 函数零点的应用
1．高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，求函数零点问题，难度较易；利用零点的存在性求相关参数的值，难度较大．
2．高考对函数零点的考查主要有以下几个命题角度：
(1)已知函数的零点或方程的根所在的区间，求参数；
(2)已知函数的零点或方程的根的个数，求参数；
(3)利用函数的零点比较大小．
[例3] (1)(201
11、3·天津高考)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则 ( )
A．g(a)<0<f(b) B．f(b)<0<g(a)
C．0<g(a)<f(b) D．f(b)<g(a)<0
(2)(2011·山东高考)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.
(3)(2011·北京高考)已知函
12、数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
[自主解答] (1)∵f(x)在R上为增函数，
且f(0)＝e0－2<0，f(1)＝e－1>0，
又f(a)＝0，∴0<a<1.
∵g(x)＝ln x＋x2－3，
∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数，
又g(1)＝ln 1－2＝－2<0，
g(2)＝ln 2＋1>0，且g(b)＝0，
∴1<b<2，即a<b，
∴
(2)∵2<a<3<b<4，∴f(x)＝logax＋x－b在(0，＋∞)上为增函数．
当
13、x＝2时，f(2)＝loga2＋2－b<0；
当x＝3时，f(3)＝loga3＋3－b>0，∴f(x)的零点x0在区间(2,3)内，∴n＝2.
(3)在同一坐标系中作出f(x)＝及y＝k的图象，如图．
可知，当0<k<1时，y＝k与y＝f(x)的图象有两个交点，即方程f(x)＝k有两个不同的实根．
[答案] (1)A (2)2 (3)(0,1)
函数零点应用问题的常见类型及解题策略
(1)已知函数零点求参数．根据函数零点或方程的根求解参数应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．
(
14、2)已知函数零点的个数求参数．常利用数形结合法．
(3)借助函数零点比较大小．要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小．
1．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)
解析：选C 由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得0<a<3.
2．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A．(
15、1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．[－1，＋∞)
解析：选A 令g(x)＝ax(a>0，且a≠1)，h(x)＝x＋a，分0<a<1，a>1两种情况，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，若函数f(x)＝ax－x－a有两个不同的零点，则函数g(x)，h(x)的图象有两个不同的交点，根据画出的图象只有当a>1时符合题目要求．
——————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————
1个口诀——用二分法求函数零点的方法
用二分法求零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值
16、计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．
2个防范——函数零点的两个易错点
(1)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的实根．
(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．
3种方法——判断函数零点个数的方法
(1)直接求零点；
(2)零点的存在性定理；
(3)利用图象交点的个数(内容见例2的[方法规律])．
3个结论——有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
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高考数学复习：第二章 ：第八节 函数与方程突破热点题型
