湘教版高考数学文一轮题库 第8章第5节椭圆

《湘教版高考数学文一轮题库 第8章第5节椭圆》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湘教版高考数学文一轮题库 第8章第5节椭圆（8页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、▼▼▼2019届高考数学复习资料▼▼▼ 高考真题备选题库 第8章 平面解析几何 第5节 椭圆 考点一 椭圆的定义、标准方程 1．（2013广东，5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：本题主要考查椭圆的图像、方程、性质等知识，考查数形结合的数学思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、运算求解能力．依题意，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，所以解得a2＝4，b2＝3. 答案：D 2．（2013山东，14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x

2、轴上，短轴长为2，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.设＝t，求实数t的值． 解：本题综合考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量的坐标运算等知识，考查方程思想、分类讨论思想、推理论证能力和运算求解能力． (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意知 解得a＝，b＝1， 因此椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)(ⅰ)当A，B两点关于x轴对称时， 设直线AB的方程为x＝m，由题意得－<m<0或0<m<. 将x＝m代入椭圆方程＋y2

3、＝1， 得|y|＝ ， 所以S△AOB＝|m| ＝， 解得m2＝或m2＝.① 又＝t＝t(＋)＝t(2m,0)＝(mt,0)， 因为P为椭圆C上一点， 所以＝1.② 由①②得t2＝4或t2＝， 又t>0，所以t＝2或t＝. (ⅱ)当A，B两点关于x轴不对称时， 设直线AB的方程为y＝kx＋h， 将其代入椭圆的方程＋y2＝1， 得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由判别式Δ>0可得1＋2k2>h2， 此时x1＋x2＝－，x1x2＝， y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2h＝， 所以|AB|＝

4、＝2·· . 因为点O到直线AB的距离d＝， 所以S△AOB＝·|AB|·d＝×2··＝· ·|h|. 又S△AOB＝， 所以· ·|h|＝.③ 令n＝1＋2k2，代入③整理得3n2－16h2n＋16h4＝0， 解得n＝4h2或n＝h2， 即1＋2k2＝4h2或1＋2k2＝h2.④ 又＝t＝t(＋)＝t(x1＋x2，y1＋y2)＝， 因为P为椭圆C上一点， 所以t22＋2＝1， 即＝1.⑤ 将④代入⑤得t2＝4或t2＝. 又t>0，所以t＝2或t＝.经检

5、验，符合题意． 综合(ⅰ)(ⅱ)得t＝2或t＝. 3．（2011浙江，5分）已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则(　　) A．a2＝　　　　　　　　　　　 B．a2＝13 C．b2＝ D．b2＝2 解析：对于直线与椭圆、圆的关系，如图所示，设直线AB与椭圆C1的一个交点为C(靠近A的交点)，则|OC|＝， 因tan∠COx＝2， ∴sin∠COx＝， cos∠COx＝， 则C的坐标为(，)，代入椭圆方程得＋＝1，∴a2＝11b2.∵5＝a2－b2，∴

6、b2＝. 答案：C 4.(2012安徽，13分)如图，F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°. (1)求椭圆C的离心率； (2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值． 解：(1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝. (2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2， 直线AB的方程可为y＝－(x－c)． 将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B(c，－c)． 所以|AB|＝·|c－0|＝c. 由S△AF1B＝|AF1|·

7、;|AB|sin ∠F1AB＝a·c·＝a2＝40，解得a＝10，b＝5. 法二：设|AB|＝t. 因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a. 由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t. 再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°可得， t＝a. 由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40知， a＝10，b＝5. 5．(2011陕西，12分)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为. (Ⅰ)求C的方程； (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标． 解：(

8、Ⅰ)将(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4， 又e＝＝得＝， 即1－＝，∴a＝5， ∴C的方程为＋＝1. (Ⅱ)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)， 设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得 ＋＝1， 即x2－3x－8＝0，解得 x1＝，x2＝， ∴AB的中点坐标＝＝， ＝＝(x1＋x2－6)＝－， 即中点坐标为(，－)． 注：用韦达定理正确求得结果，同样给分． 考点二 椭圆的简单几何性质 1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F

9、2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　) A.　　　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：本题主要考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的定义、方程与几何性质等知识，意在考查考生的运算求解能力． 法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝. 法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同

10、除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)． 答案：D　 2．（2013辽宁，5分）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 解析：本题主要考查圆锥曲线的定义、离心率，解三角形等知识，意在考查考生对圆锥曲线的求解能力以及数据处理能力．由余弦定理得，|AF|＝6，所以2a＝6＋8＝14，又2c＝10，所以e＝＝. 答案：B 3．（2013四川，5分）从椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点

11、F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是(　　) A. B. C. D. 解析：本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查曲线和方程这一解析几何的基本思想．由已知，点P(－c，y)在椭圆上，代入椭圆方程，得P.∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，即－＝－，则b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，则＝，即该椭圆的离心率是. 答案：C 4．（2013福建，4分）椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该

12、椭圆的离心率等于________． 解析：本题主要考查椭圆的定义、图像和性质等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．直线y＝(x＋c)过点F1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1. 答案：－1 5．（2012新课标全国，5分）设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　) A.

13、 B. C. D. 解析：由题意可得|PF2|＝|F1F2|，所以2(a－c)＝2c，所以3a＝4c，所以e＝. 答案：C 6．（2012江西，5分）椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D.－2 解析：依题意得 |F1F2|2＝|AF1|·|F1B|，即4c2＝(a－c)(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，所以e＝＝. 答案：B 7．（2011新课标全国，5分）椭圆＋＝1的离心率为

14、(　　) A. B. C. D. 解析：由＋＝1可得a2＝16，b2＝8，∴c2＝a2－b2＝8. ∴e2＝＝.∴e＝. 答案：D 8．（2010福建，5分）若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　) A．2 B．3 C．6 D．8 解析：由椭圆＋＝1，可得点F(－1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3(1－)＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，·取得最大值6. 答案：C 高考数学复习精品 高考数学复习精品