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第五节 指数与指数函数
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1．了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．
4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a⇒
(2)根式的性质
①()n＝a(n∈N*)．[来源:]
②＝
2．有理数指数幂
2、(1)幂的有关概念：
①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
②负分数指数幂：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的性质：
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
y＝ax[来源:]
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质[来源:]
过定点(0,1)
当x＞0时，y＞1；
x＜0时，0＜y＜1
当
3、x＞0时，0＜y＜1；
x＜0时，y＞1
在R上是增函数
在R上是减函数
1.＝a成立的条件是什么？
提示：当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0.
2．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？
提示：图中直线x＝1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1，所以，c>d>1>a>b，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
3．当a>0，且a≠1时，函数y＝ax，y＝a|x|，y＝|ax|，y＝x之间有何关系？
提示
4、：y＝ax与y＝|ax|是同一个函数的不同表现形式；函数y＝a|x|与y＝ax不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同；y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称．
1．化简[(－2)6]－(－1)0的结果为( )
A．－9 B．－10 C．9 D．7
解析：选D [(－2)6]－(－1)0＝(26)－1＝8－1＝7.
2．化简(x<0，y<0)得( )
A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y
解析：选D ＝2x2|y|＝－2x2y.
3．函数f(x)＝3x＋1的值域为
5、( )
A．(－1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(0,1) D．[1，＋∞)
解析：选B ∵3x＞0，∴3x＋1＞1，即函数f(x)＝3x＋1的值域为(1，＋∞)．
4．当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点________．
解析：令x－2＝0，则x＝2，y＝1－3＝－2，故函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点(2，－2)．
答案：(2，－2)
5．若指数函数f(x)＝(a－2)x为减函数，则实数a的取值范围为________．
解析：∵f(x)＝(a－2)x为减函数，∴0＜a－2＜1，即2＜a＜3.
答案：(2,3).
前沿热点(三)
6、
指数函数与不等式的交汇问题
1．高考对指数函数的考查多以指数与指数函数为载体，考查指数的运算和函数图象的应用，且常与函数性质、二次函数、方程、不等式等内容交汇命题．
2．解决此类问题的关键是根据已知(或构造)指数函数或指数型函数的图象或性质建立相关关系式求解．
[典例] (2012浙江高考)设a＞0，b＞0，( )
A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b
B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜b
C．若2a－2a＝2b－3b，则a＞b
D．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b
[解题指导] 分析题目选项的特点，可构造函数f(x)＝2x＋2x，然后利用其单调性解决．
[解
7、析] ∵a>0，b>0，
∴2a＋2a＝2b＋3b>2b＋2b.
令f(x)＝2x＋2x(x>0)，则函数f(x)为单调增函数．
∴a>b.
[答案] A
[名师点评] 解决本题的关键有以下两点：
(1)通过放缩，将等式问题转化为不等式问题；
(2)构造函数，并利用其单调性解决问题．
设函数f(x)＝32x－23x＋a2－a－5，当0≤x≤1时，f(x)＞0恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：f(x)＝32x－23x＋a2－a－5＝(3x－1)2＋a2－a－6，∵0≤x≤1，∴1≤3x≤3，∴函数f(x)＝32x－23x＋a2－a－5在0≤x≤1上是增函数，f(x)＞0恒成立⇔f(0)＞0，f(0)＝1－2＋a2－a－5＝a2－a－6＝(a－3)(a＋2)＞0，∴a＞3或a＜－2.
答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)
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高考数学复习：第二章 ：第五节 指数与指数函数回扣主干知识提升学科素养
