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第三节 三角函数的图象与性质
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1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在上的性质．
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质[来源:]
函数[来源:]
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图
象
定义域
R
R
k∈Z }[来源:]
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
单调性
递增区间：
(k∈Z)；
递减区间：
(k∈Z)[来源:
2、]
递增区间：
[2kπ－π，2kπ]
(k∈Z)；
递减区间：
[2kπ，2kπ＋π]
(k∈Z)
递增区间：
(k∈Z)
最 值
x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ－(k∈Z)时，
ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝2kπ＋π(k∈Z) 时，
ymin＝－1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：(kπ，0)(k∈Z)
对称轴：x＝kπ＋，k∈Z
对称中心：(k∈Z)
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：(k∈Z)
无对称轴
周期
2π
2π
π
1．正切
3、函数y＝tan x在定义域内是增函数吗？
提示：不是．正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数．
2．当函数y＝Asin(ωx＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y＝Acos(ωx＋φ)呢？
提示：函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数；函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时是偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时是奇函数．
1．函数y＝tan 3x的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D 由3x≠＋kπ，得x≠
4、＋，k∈Z.
2．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
解析：选B ∵f(x)＝sin＝－cos 2x，
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．
3．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )
A．关于直线x＝对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝－对称 D．关于点对称
解析：选B ∵f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f(x)＝sin.
经验证可知f＝sin＝sin π＝0，
5、
即是函数f(x)的一个对称点．
4．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
解析：选A 由函数的周期为π，可排除C，D.又函数在上为减函数，排除B，故选A.
5．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________.
解析：函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，即x＝＋2kπ(k∈Z)．
答案：5 ＋2kπ(k∈Z)
方法博览(三)
利用三角函数的性质求参数的四种方法
1．根据三角函数的奇偶性求参数
[典例1]
6、已知f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)，函数y＝f(x＋φ)为偶函数，则φ的值为________．
[解题指导] 先求出f(x＋φ)的解析式，然后求解．
[解析] ∵f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，
∴f(x＋φ)＝2sin.
∵函数f(x＋φ)为偶函数，∴φ＋＝＋kπ，k∈Z，
即φ＝＋kπ(k∈Z)．
又∵|φ|≤，∴φ＝.
[答案]
[点评] 求解三角函数奇偶性的参数问题常用下列结论进行解答：函数y＝Acos(ωx＋φ)＋B(A≠0)为奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)且B＝0；为偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
2．根据三角函数的单调性求参数
[典例2]
7、 已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|＜π)，若是f(x)的一个单调递增区间，则φ的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.∪
[解题指导] 求三角函数的单调区间，先求出已知函数的单调递增区间，使为其子区间即可求得φ的范围．
[解析] 因为2kπ＋≤2x＋φ≤2kπ＋，k∈Z，所以kπ＋－≤x≤kπ＋－，k∈Z，又因为是f(x)的一个单调递增区间，|φ|＜π，所以≤kπ＋－，k∈Z，解得φ≤，同理由≥kπ＋－，k∈Z，可得φ≥，所以≤φ≤.
[答案] C
[点评] 解答此类题要注意单调区间的给出方式，如：“函数f(x)在
8、(k∈Z)上单调递增”与“函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)”，二者是不相同的．
3．根据三角函数的周期性求参数
[典例3] 函数f(x)＝sin＋sin ωx(ω＞0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝________.
[解题指导] 相邻两对称轴之间的距离为2，即T＝4.
[解析] f(x)＝sin＋sin ωx＝sin ωx＋cos ωx＋sin ωx＝sin ωx＋cos ωx＝sin，又因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T＝4，所以＝4，即ω＝.
[答案]
[点评] 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，f(x)＝Acos(ωx＋φ)图象上一个最高点和它邻
9、近的最低点的横坐标之差的绝对值是函数的半周期，纵坐标之差的绝对值是2A.在解决由三角函数图象确定函数解析式的问题时，要注意使用好函数图象显示出来的函数性质、函数图象上特殊点的坐标及两个坐标轴交点的坐标等．
4．根据三角函数的最值求参数
[典例4] 若函数f(x)＝asin x－bcos x在x＝处有最小值－2，则常数a，b的值是( )
A．a＝－1，b＝ B．a＝1，b＝－
C．a＝，b＝－1 D．a＝－，b＝1
[解题指导] 函数f(x)＝asin x－bcos x的最小值为－.
[解析] f(x)＝sin(x－φ)其中cos φ＝，sin φ＝，
则解得
[答案] D
[点评] 解答本题的两个关键：(1)引进辅助角，将原式化为三角函数的基本形式；(2)利用正弦函数取最值的方法建立方程组．
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高考数学复习：第三章 ：第三节 三角函数的图象与性质回扣主干知识提升学科素养
