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第四节 二次函数与幂函数
[全盘巩固]
1．二次函数y＝－x2＋4x＋t图象的顶点在x轴上，则t的值是( )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
解析：选A 二次函数图象的顶点在x轴上，所以Δ＝42－4(－1)t＝0，解得t＝－4.
2．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是 ( )
A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1[来源:]
D．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝
2、x－1
解析：选B 函数y＝x2的定义域、值域分别为R和[0，＋∞)，且其图象关于y轴对称，故该函数应与图象②对应；函数y＝x＝的定义域、值域都是[0，＋∞)，故该函数应与图象③对应；函数y＝x－1＝，该函数应与图象④对应，故排除选项C，D.对于函数y＝x，随着x的增大，函数图象向x轴弯曲；而对于函数y＝x3，随着x的增大，函数图象向y轴弯曲，故图象①应与函数y＝x3对应．
3．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是( )
A B C D
解析：选D ∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，
∴a＞0，c＜0，
∴y
3、＝ax2＋bx＋c的开口向上，且与y轴的交点(0，c)在负半轴上．
4．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f(x)( )
A．在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增
B．在(－∞，3)上单调递增
C．在[1,3]上单调递增
D．单调性不能确定
解析：选A 由已知可得该函数的图象的对称轴为x＝2，又二次项系数为1＞0，所以f(x)在(－∞，2]上是单调递减的，在[2，＋∞)上是单调递增的．
5．方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为( )
A. B．(1，＋∞)
C.
4、 D.
解析：选C 令f(x)＝x2＋ax－2，
由题意，知f(x)图象与x轴在[1,5]上有交点，[来源:数理化网]
则解得－≤a≤1.
6．(2014衢州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(0＜a＜3)，若x1＜x2，x1＋x2＝1－a，则( )
A．f(x1)＝f(x2)
B．f(x1)＜f(x2)
C．f(x1)＞f(x2)
D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定
解析：选B 函数的对称轴为x＝－1，
设x0＝，
由0＜a＜3，得到－1＜＜，
又x1＜x2，[来源:]
用单调性和离对称轴的远近作判断，故选B.
7．若y＝xa2－4a－9是
5、偶函数，且在(0，＋∞)内是减函数，则整数a的值是________．
解析：∵函数在(0，＋∞)内是减函数，
∴a2－4a－9＜0.
∴2－＜a＜2＋，
又函数是偶函数，
∴a2－4a－9是偶数，
∴整数a的值可以是－1,1,3或5.
答案：－1,1,3或5
8．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为________．
解析：依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1，
又其图象过点(0,1)，∴4a－1＝1，∴a＝.
∴f(x)＝(x－2)2－1.
答案：f(x)＝(x－2)2－1
9．(2014海口模拟)二次函数f(x)的二次项系数
6、为正，且对任意x恒有f(2＋x)＝f(2－x)，若f(1－2x2)＜f(1＋2x－x2)，则x的取值范围是________．
解析：由f(2＋x)＝f(2－x)，知x＝2为对称轴，由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴较近的点的纵坐标较小，∴|1－2x2－2|＜|1＋2x－x2－2|，即|2x2＋1|＜|x2－2x＋1|，∴2x2＋1＜x2－2x＋1，∴－2＜x＜0.
答案：(－2,0)
10．设f(x)是定义在R上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x＜1时，y＝f(x)的表达式是幂函数，且经过点.求函数在[2k－1,2k＋1)(k∈Z)上的表达式．
解：设在[－1,1)上，f(x)
7、＝xn，由点在函数图象上，求得n＝3.
令x∈[2k－1,2k＋1)，则x－2k∈[－1,1)，
∴f(x－2k)＝(x－2k)3.又f(x)周期为2，
∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)3.
即f(x)＝(x－2k)3(k∈Z)．
11．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，
对称轴x＝－∈[－2,3]，∴f(x)min＝f＝－－3＝－，f(x)max＝f(3)＝15，
8、
∴函数f(x)的值域为.
(2)函数f(x)的对称轴为x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－满足题意；
②当－＞1，即a＜－时，
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1满足题意．
综上可知a＝－或－1.
12．(2014湖州模拟)已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)．
(1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．
解：(1
9、)∵f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a＞1)，
∴f(x)在[1，a]上是减函数．
又定义域和值域均为[1，a]．
∴即解得a＝2.
(2)∵f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，
∴a≥2.
又x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1，
∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2.
∵对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，
∴f(x)max－f(x)min≤4，得－1≤a≤3.
又a≥2，∴2≤a≤3.
故实数a的取值范围是[2,3]．
[冲击名校]
1．对于任意a∈[－1,1]，函数f(x)
10、＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，那么x的取值范围是( )
A．(1,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C．(1,2) D．(3，＋∞)
解析：选B f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x＋4，
令g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，[来源:]
由题意知即[来源:]
解得x＞3或x＜1，故选B.
2．已知函数f(x)＝ax2－(3－a)x＋1，g(x)＝x，若对于任意实数x，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数a的取值范围是( )
A．[0,3) B．[3,9) C．[1
11、,9) D．[0,9)
解析：选D 据题意只需转化为当x≤0时，ax2－(3－a)x＋1>0恒成立即可．结合f(x)＝ax2－(3－a)x＋1的图象，当a＝0时验证知符合条件；当a≠0时必有a>0，当x＝≥0时，函数在(－∞，0)上单调递减，故要使原不等式恒成立，只需f(0)>0即可，解得0＜a≤3；当x＝<0时，只需f>0即可，解得3
12、f(x)为偶函数
C．f(x)＋1为奇函数 D．f(x)＋1为偶函数
解析：选C 法一：根据题意，令x1＝x2＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)＋1，所以f(0)＝－1.令x1＝x，x2＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＋1，所以f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，即f(x)＋1＝－[f(－x)＋1]，故f(x)＋1为奇函数．
法二：(特殊函数法)由条件f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1可取f(x)＝x－1，而f(x)＋1＝x是奇函数．
2．设y＝f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于函数y＝f(x)的三个命题：
①y＝f(x)是周期函数；
②y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；
③y＝f(x)在[0,1]上是增函数．
其中正确命题的序号是________．
解析：因偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，令x＝x－1，则f(x)＝－f(x－1)，故f(x＋1)＝f(x－1)，所以f(x)是周期为2的周期函数，①正确；又f(1－x)＝f(x－1)＝f(1＋x)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，②正确；又函数f(x)在[－1,0]上是增函数，则f(x)在[0,1]是减函数，③错误．
答案：①②
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高考数学复习：第二章 ：第四节 二次函数与幂函数演练知能检测
