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第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
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1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.
2.理解全称量词与存在量词的意义.
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
1．命题p∧q、p∨q、的真假判定
p
q
p∧q
p∨q
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假[来源:]
假
真
2．全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示
2、．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)．
(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．
3．含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，p(x0)
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，p(x)
1．逻辑联结词“且”“或”“非”与集合运算中的“交”“并”“补”有什么关系？
提示：“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“交”“并”“补”，因此，常常借助集合的“交”“并”“补”的
3、意义来解答由“且”“或”“非”三个联结词构成的命题问题．
2．全称命题(特称命题)的否定还是全称命题(特称命题)吗？其真假性与原命题的真假性有什么关系？
提示：不是．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性与原命题的真假性恰好相反．
1．若命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，则( )
A．命题p不一定是假命题
B．命题q一定是真命题
C．命题q不一定是真命题
D．命题p与命题q同真同假
解析：选B 由题可知“非p”是真命题，所以p是假命题，又因为“p或q”是真命题，所以q是真命题．
2．(2013湖北高考)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳
4、一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(非p)∨(非q) B．p∨(非q)
C．(非p)∧(非q) D．p∨q
解析：选A 命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选A.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“p∧q”的否定．
3．(2013四川高考)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数
5、集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( )
A．非p：∃x∈A,2x∈B [来源:数理化网]
B．非p：∃x∉A,2x∈B
C．非p：∃x∈A,2x∉B
D．非p：∀x∉A,2x∉B
解析：选C 因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p的否定为非p：∃x∈A,2x∉B.
4．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x0，使2x0<0.下列选项中为真命题的是( )[来源:]
A．非p B．q
C．(非p)∨q D．(非q)∧p
解析：选D 依题意，命题p是真命题，命题q是假命题，因此非p是假命题，(
6、非q)∧p是真命题，(非p)∨q是假命题．
5．已知命题p：∃x0≥0,2x0＝3，则( )[来源:]
A．非p：∀x＜0,2x≠3
B．非p：∀x≥0,2x≠3
C．非p：∃x0≥0,2x0≠3
D．非p：∃x0＜0,2x0≠3
解析：选B 因为命题p：∃x0≥0,2x0＝3为特称命题，所以非p：x≥0,2x≠3.
易误警示(一)
含有量词命题的否定中的易错点
[典例] (2012辽宁高考)已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则非p是( )
A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．∀
7、x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
[解题指导] 首先分析命题中所含有的量词，明确命题是全称命题还是特称命题，然后再对命题进行否定．
[解析] 题目中命题的意思是“对任意的x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0都成立”，要否定它，只要找到至少一组x1，x2，使得(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0即可，故命题“∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0”的否定是“∃x1，x2∈
8、R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”．
[答案] C
[名师点评] 1.若忽视对量词的改写，易错选D；若对不等号改写不准确，易误选A.
2．解决此类问题，还常出现以下错误：有的全称命题的全称量词往往可以不写，从而在进行命题否定时将全称命题只否定判断词，而不否定省略了的全称量词．如命题“三角形的两边之和大于第三边”的否定应为“有些三角形的两边之和小于或等于第三边”而不是“三角形的两边之和小于或等于第三边”．
3．为避免上述错误，对含有一个量词的命题进行否定时，应重点关注以下几点：
(1)正确理解含有一个量词的命题的否定的含义，从整体上把握，明确其否定的实质．
(2)明确命题的类型，是全称命题还是特称命题．
(3)记住一些常用的词语的否定形式及其规律．
命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
解析：选B 根据特称命题的否定是全称命题可知，原命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”． [来源:]
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高考数学复习：第一章 ：第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词回扣主干知识提升学科素养
