金版教程高考数学 文二轮复习讲义：第一编 数学 思想方法 第二讲数形结合思想 Word版含解析

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1、 第二讲　数形结合思想 思想方法解读 考点　利用数形结合思想研究方程的根与函数的零点　　 典例1　　已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时，f(x)＝则关于x的函数F(x)＝f(x)－a(0<a<1)的所有零点之和为(　　) A．2a－1 B．2－a－1 C．1－2－a D．1－2a 解析]　因为f(x)为R上的奇函数，所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝画出函数y＝f(x)的图象和直线y＝a(0<a<1)，如图． 由图可知，函数y＝f(x)的图象与直线y＝a(0<a<1)共有5个交点，设其横坐标从左到右

2、分别为x1，x2，x3，x4，x5，则＝－3，＝3，而由－log (－x3＋1)＝a，即log2(1－x3)＝a，可得x3＝1－2a，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝1－2a，故选D. 答案]　D 利用数形结合研究方程的根(求函数零点)解决策略 (1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数． (2)数形结合思想在解决函数性质有关问题时常有以下几

3、种类型： ①研究函数的单调性与奇偶性：画出函数的图象，从图象的变化趋势看函数的单调性，从图象的对称看函数的奇偶性． ②研究函数的对称性：画出函数的图象，可从图象的分布情况看图象的对称性． ③比较函数值的大小：对于比较没有解析式的函数值大小，可结合函数的性质，画出函数的草图，结合图象比较大小． 【针对训练1】　20xx·山东重点高中模拟]若实数a满足a＋lg a＝4，实数b满足b＋10b＝4，函数f(x)＝则关于x的方程f(x)＝x的根的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　在同一坐标系中作出y＝10x，y＝lg x以及y＝4－x的

4、图象，其中y＝10x，y＝lg x的图象关于直线y＝x对称，直线y＝x与y＝4－x的交点为(2,2)，所以a＋b＝4，f(x)＝当x≤0时，由x2＋4x＋2＝x可得，x＝－1或－2；当x>0时，易知x＝2，所以方程f(x)＝x的根的个数是3. 考点　利用数形结合思想解不等式或求参数范围　　 典例2　　(1)20xx·福建高考]已知⊥，||＝，||＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于(　　) A．13 B．15 C．19 D．21 解析]　依题意，以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，所以点B，C(0，t)

5、，＝(1,0)＋4(0,1)＝(1,4)即P(1,4)且t>0.所以·＝·(－1，t－4)＝×(－1)－4×(t－4)＝17－－4t≤17－2＝13(当且仅当＝4t，即t＝时取等号)，所以·的最大值为13，故选A. 答案]　A (2)20xx·全国卷Ⅱ]已知偶函数f(x)在0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________． 解析]　 作出函数f(x)的大致图象如图所示， 因为f(x－1)>0，所以－2<x－1<2， 解得－1<x<3. 则x

6、的取值范围为(－1,3)． 答案]　(－1,3) 数形结合思想解决不等式(或求参数范围)的解题思路 求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化成数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答． 【针对训练2】　(1)使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是________． 答案　(－1,0) 解析　在同一坐标系中，分别作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，由图可知，x的取值范围是(－1,0)． (2)若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立

7、，则a的取值范围是________． 答案　 解析　作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤. 考点　利用数形结合求最值　　 　　 典例3　　(1)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为(　　) A．5 B．29 C．37 D．49 解析]　由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界．∵圆C与x轴相切，∴b＝1.显然当圆心C位于直线y＝1与x＋y－7＝0的交点A(6，1)处时，amax＝6.∴a2＋b2的最大值为62＋12＝37.故选C. 答案]　C

8、 (2)已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________． 解析]　从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRt△PAC＝|PA|·|AC|＝|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值， 此时|PC|＝＝3， 从而|PA|＝＝2.

9、 所以(S四边形PACB)min＝2××|PA|×|AC|＝2. 答案]　2 利用数形结合思想解决最值问题的一般思路 利用数形结合的思想可以求与几何图形有关的最值问题，也可以求与函数有关的一些量的取值范围或最值问题． (1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解． (2)对于求最大值、最小值问题，先分析所涉及知识，然后画出相应图象，数形结合求解． 【针对训练3】　20xx·潍坊模拟]已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，设H1(x)＝max{f(

10、x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)，记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝(　　) A．16 B．－16 C．a2－2a－16 D．a2＋2a－16 答案　B 解析　H1(x)＝max{f(x)，g(x)}＝ H2(x)＝min{f(x)，g(x)}＝ 由f(x)＝g(x)⇒x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，解得x1＝a－2，x2＝a＋2. 而函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2

11、＋8的图象的对称轴恰好分别为x＝a＋2，x＝a－2，可见二者图象的交点正好在它们的顶点处，如图1所示， 因此H1(x)，H2(x)的图象分别如图2，图3所示(图中实线部分) 可见，A＝H1(x)min＝f(a＋2)＝－4a－4，B＝H2(x)max＝g(a－2)＝12－4a，从而A－B＝－16. 考点　数形结合思想在解析几何中的应用　　 典例4　　已知F1、F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是(　　) A．(1，)

12、B．(，) C．(，2) D．(2，＋∞) 解析]　如图所示，过点F2(c,0)且与渐近线y＝x平行的直线为y＝(x－c)，与另一条渐近线y＝－x联立得解得 即点M. ∴|OM|＝ ＝ ∵点M在以线段F1F2为直径的圆外， ∴|OM|>c， 即 >c，得 >2. ∴双曲线离心率e＝＝ >2. 故双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)．故选D. 答案]　D 数形结合在解析几何中的解题策略 (1)数形结合思想中一个非常重要的方面是以数解形，通过方程等代数方法来研究几何问题，也就是解析法，解析法与几何法结合来解题，会有更大的功效． (2)

13、此类题目的求解要结合该曲线的定义及几何性质，将条件信息和结论信息结合在一起，观察图形特征，转化为代数语言，即方程(组)或不等式(组)，从而将问题解决． 【针对训练4】　已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B. C. D. 答案　B 解析　如图，由题意知r1＝10，r2＝2c，且r1>r2.e2＝＝＝＝；e1＝＝＝＝. ∵三角形两边之和大于第三边，∴2c＋2c>10，∴c>， ∴e1e2＝＝>，因此选B.