高三数学第40练 数列中的易错题

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1、 第40练 数列中的易错题 训练目标 (1)数列知识的深化应用；(2)易错题目矫正练． 训练题型 数列中的易错题． 解题策略 (1)通过Sn求an，要对n＝1时单独考虑；(2)等比数列求和公式应用时要对q＝1，q≠1讨论；(3)使用累加、累乘法及相消求和时，要正确辨别剩余项，以免出错. 一、选择题 1．等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数也为定值的是(　　) A．S7 B．S8 C．S13 D．S15 2．已知等差数列：1，a1，a2,9；等比数列：－9，b1，b2，b3，－1.则b2(a2－a

2、1)的值为(　　) A．8 B．－8 C．±8 D. 3．已知函数y＝f(x)，x∈R，数列{an}的通项公式是an＝f(n)，n∈N*，那么“函数y＝f(x)在[1，＋∞)上递增”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(20xx·抚州月考)设Sn为等差数列{an}的前n项和，(n＋1)Sn<nSn＋1(n∈N*)．若<－1，则(　　) A．Sn的最大值是S8 B．Sn的最小值是S8 C．Sn的最大值是S7 D．Sn的最小值是S7 5．(20xx&

3、#183;湖北黄冈中学等八校联考)已知实数等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论一定成立的是(　　) A．若a3>0，则a2 013<0 B．若a4>0，则a2 014<0 C．若a3>0，则S2 013>0 D．若a4>0，则S2 014>0 6．已知数列{an}满足：an＝(n∈N*)，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　) A．(，3) B．[，3) C．(1,3) D．(2,3) 7．(20xx·江南十校联考)已知数列{an}的通项公式为an＝log3(n∈N*)，则使Sn<－4成立的

4、最小自然数n为(　　) A．83 B．82 C．81 D．80 8．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝r·an＋r(n∈N*，r∈R且r≠0)，则“r＝1”是“数列{an}为等差数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 9．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n－1，则数列{an}的通项公式为________________． 10．(20xx·辽宁五校联考)已知数列{an}满足an＝，则数列{}的前n项和为________． 11．已知数列{an}是递增数列，且对于任意的

5、n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________． 12．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，数列{anan＋1}是公比为q (q>0)的等比数列，则数列{an}的前2n项和S2n＝____________.  答案精析 1． C　[∵a2＋a8＋a11＝(a1＋d)＋(a1＋7d)＋(a1＋10d)＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)为常数． ∴a1＋6d为常数．∴S13＝13a1＋d＝13(a1＋6d)也为常数．] 2．B　[a2－a1＝d＝＝， 又b＝b1b3＝(－9)×(－1)＝9， 因为b2与－9，－1同号，所以b2＝－3.

6、 所以b2(a2－a1)＝－8.] 3．A　[由题意，函数y＝f(x)，x∈R， 数列{an}的通项公式是an＝f(n)，n∈N*. 若“函数y＝f(x)在[1，＋∞)上递增”， 则“数列{an}是递增数列”一定成立； 若“数列{an}是递增数列”， 则“函数y＝f(x)在[1，＋∞)上递增”不一定成立， 现举例说明，如函数在[1,2]上先减后增，且在1处的函数值小．综上，“函数y＝f(x)在[1，＋∞)上递增”是“数列{an}是递增数列”的充分不必要条件，故选A.] 4．D　[由(n＋1)Sn<nSn＋1， 得(n＋1)·<n·， 整理得

7、an<an＋1， 所以等差数列{an}是递增数列， 又<－1， 所以a8>0，a7<0， 所以数列{an}的前7项为负值， 即Sn的最小值是S7.] 5．C　[设an＝a1qn－1， 因为q2 010>0， 所以A，B不成立． 对于C，当a3>0时，a1>0， 因为1－q与1－q2 013同号， 所以S2 013>0，选项C正确， 对于D，取数列：－1,1，－1,1，…，不满足结论， D不成立，故选C.] 6．D　[根据题意，an＝f(n)＝n∈N*，要使{an}是递增数列，必有解得2<a<3.] 7．C

8、　[∵an＝log3＝log3n－log3(n＋1)， ∴Sn＝log31－log32＋log32－log33＋…＋log3n－log3(n＋1)＝－log3(n＋1)<－4， 解得n>34－1＝80.故最小自然数n的值为81.] 8．A　[当r＝1时，易知数列{an}为等差数列； 由题意易知a2＝2r，a3＝2r2＋r，当数列{an}是等差数列时，a2－a1＝a3－a2， 即2r－1＝2r2－r.解得r＝或r＝1， 故“r＝1”是“数列{an}为等差数列”的充分不必要条件．] 9．an＝ 解析　当n＝1时，a1＝S1＝－2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2

9、n－3， 所以数列{an}的通项公式为an＝ 10. 解析　an＝＝， 则＝＝4(－)， 所以所求的前n项和为4[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝4(－)＝. 11．(－3，＋∞) 解析　因为数列{an}是单调递增数列， 所以an＋1－an>0 (n∈N*)恒成立． 又an＝n2＋λn (n∈N*)，所以(n＋1)2＋λ(n＋1)－(n2＋λn)>0恒成立，即2n＋1＋λ>0. 所以λ>－(2n＋1) (n∈N*)恒成立． 而n∈N*时，－(2n＋1)的最大值为－3(n＝1时)，所以λ的取值范围为(－3，＋∞)． 12. 解析　∵数列{anan＋1}是公比为q (q>0)的等比数列， ∴＝q，即＝q， 这表明数列{an}的所有奇数项成等比数列， 所有偶数项成等比数列，且公比都是q， 又a1＝1，a2＝2， ∴当q≠1时，S2n＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n－1＋a2n ＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2n) ＝＋＝； 当q＝1时，S2n＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n－1＋a2n ＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2n) 综上所述：S2n＝