高考数学 一轮复习学案训练课件北师大版理科： 第2章 函数、导数及其应用 第11节 第3课时 导数与函数的综合问题学案 理 北师大版

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1、 第3课时　导数与函数的综合问题 (对应学生用书第40页) 利用导数研究不等式的有关问题 ◎角度1　证明不等式 　(20xx·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a<0时，证明f(x)≤－－2. [解]　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝. 若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0， 故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 若a<0，则当x∈时，f′(x)>0； 当x∈时，f′(x)<0. 故f(

2、x)在上单调递增，在上单调递减． (2)证明：由(1)知，当a<0时，f(x)在x＝－处取得最大值，最大值为f＝ln－1－. 所以f(x)≤－－2等价于ln－1－≤－－2， 即ln＋＋1≤0. 设g(x)＝ln x－x＋1， 则g′(x)＝－1. 当x∈(0,1)时，g′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0， 所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0. 所以当x>0时，g(x)≤0. 从而当a<0时，ln＋＋1≤0， 即f(x)≤－－2. ◎角度2

3、　解决不等式恒(能)成立问题 　(20xx·广州综合测试(二))已知函数f(x)＝－ax＋b在点(e，f(e))处的切线方程为y＝－ax＋2e. (1)求实数b的值； (2)若存在x∈[e，e2]，满足f(x)≤＋e，求实数a的取值范围. 【导学号：79140086】 [解]　(1)函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)． 因为f(x)＝－ax＋b， 所以f′(x)＝－a. 所以函数f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－(e－ae＋b)＝－a(x－e)，即y＝－ax＋e＋b. 已知函数f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y＝－ax＋2e，比较

4、可得b＝e. 所以实数b的值为e. (2)f(x)≤＋e，即－ax＋e≤＋e，所以问题转化为a≥－在[e，e2]上有解． 令h(x)＝－(x∈[e，e2])， 则h′(x)＝－＝ ＝. 令p(x)＝ln x－2， 所以当x∈[e，e2]时，有p′(x)＝－＝＜0. 所以函数p(x)在区间[e，e2]上单调递减． 所以p(x)≤p(e)＝ln e－2＜0. 所以h′(x)＜0，即h(x)在区间[e，e2]上单调递减． 所以h(x)≥h(e2)＝－＝－. 所以实数a的取值范围为. [规律方法]　1.利用导数证明含“x”不等式方法，证明：f(x)＞g(x). 法一：移项，

5、f(x)－g(x)＞0，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，转化证明F(x)min＞0，利用导数研究F(x)单调性，用上定义域的端点值. 法二：转化证明：f(x)min＞g(x)max. 法三：先对所求证不等式进行变形，分组或整合，再用法一或法二. 2.利用导数解决不等式的恒成立问题的策略 (1)首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围. (2)也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 3.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小值；若存在x

6、∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值.应特别关注等号是否成立问题. [跟踪训练]　(20xx·东北三省三校二联)已知函数f(x)＝sin x. (1)当x＞0时，证明：f′(x)＞1－； (2)若当x∈时，f(x)＋＞ax恒成立，求实数a的取值范围． [解]　(1)证明：设g(x)＝f′(x)－＝cos x－(x＞0)， 则g′(x)＝－sin x＋x(x＞0)． 令M(x)＝g′(x)(x＞0)， 则M′(x)＝1－cos x≥0， ∴g′(x)在(0，＋∞)上单调递增． ∴g′(x)＞g′(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增． ∴g

7、(x)＞g(0)＝0.∴f′(x)＞1－成立． (2)当x∈时， f(x)＋＞ax⇔sin x＋tan x＞ax. 设h(x)＝sin x＋tan x－ax， 则h′(x)＝cos x＋－a. 令t＝cos x，由0＜x＜，得0＜t＜1. 设k(t)＝t＋(0＜t＜1)，则k′(t)＝1－＝＜0. ∴k(t)在(0,1)上单调递减．∴k(t)＞k(1)＝2. 当a≤2时，h′(x)＞0，∴h(x)在上单调递增． ∴h(x)＞h(0)＝0，即原不等式成立． 当a＞2时，关于t的方程t＋＝a在(0,1)仅有一根，设根为t0，设cos m＝t0,0＜m＜， 则存在唯一m，使得c

8、os m＝t0. 当x∈(0，m)时，t0＜cos x＜1⇒h′(x)＜0， ∴h(x)在(0，m)上单调递减． ∴h(x)＜h(0)＝0，这与条件矛盾，∴a＞2时不成立． 综上所述，a≤2，即实数a的取值范围为(－∞，2]． 利用导数研究函数零点、方程的根、极值个数问题 　(20xx·北京高考节选)设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)设a＝b＝4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围． [解]　(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.因为

9、f(0)＝c，f′(0)＝b， 所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝bx＋c. (2)当a＝b＝4时，f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c， 所以f′(x)＝3x2＋8x＋4. 令f′(x)＝0，得3x2＋8x＋4＝0，解得x＝－2或x＝－. 当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下： x (－∞，－2) －2 － f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ c ↘ c－ ↗ 所以，当c＞0且c－＜0，存在x1∈(－4，－2)，x2∈，x3∈，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0. 由f(x)的单调性知，当且

10、仅当c∈时，函数f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c有三个不同零点． [规律方法]　利用导数研究方程根的方法 (1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等. (2)根据题目要求，画出函数图像的走势规律，标明函数极(最)值的位置. (3)可以通过数形结合的思想去分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. [跟踪训练]　设函数f(x)＝－kln x，k＞0. (1)求f(x)的单调区间和极值； (2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点. 【导学号：79140087】 [解]　(1)由f(x)＝－kln x(k

11、＞0)，得x＞0且f′(x)＝x－＝.由f′(x)＝0，解得x＝(负值舍去)． f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表： x (0，) (，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ ↗ 所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)．f(x)在x＝处取得极小值f()＝无极大值． (2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝. 因为f(x)存在零点，所以≤0， 从而k≥e， 当k＝e时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()＝0， 所以x＝是f(x)在区间(1，]上的唯一零点． 当k

12、＞e时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f(1)＝＞0，f()＝＜0， 所以f(x)在区间(1，]上仅有一个零点． 综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点． 利用导数研究生活中的优化问题 　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． [解]　(1)因为x＝

13、5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y＝＋10(x－6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)＝(x－3) ＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6. 从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)， 于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (3,4) 4 (4,6) f′(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 极大值42 单调递减 由上表可得，x＝4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值， 所以，当x＝4时，函数

14、f(x)取得最大值，且最大值等于42. 即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． [规律方法]　利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域. (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值. (4)回归实际问题作答. (5)注意f(x)在开区间(a，b)与在闭区间[a，b]上求最值的区别，f(x)在开区间(a，b)上只有一个极值点，则该点即为最值点. [跟踪训练]　某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系y＝x3－x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则速度应定为________． 40　[由y′＝x2－39x－40＝0， 得x＝－1或x＝40， 当0＜x＜40时，y′＜0； x＞40时，y′＞0. 所以当x＝40时，y有最小值．]