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1、
简解一类“恒成立”高考题
定理 (1)若函数在处可导，且时恒成立，则；
(2) 若函数在处可导，且时恒成立，则．
初步感知 若，所以函数在处右侧附近的图像是减函数．又函数在处可导，所以．
同理，可得其他结论也成立．
严格证明 若，由函数在处可导及导数的定义，得
同理，可证得其他结论也成立．
题1 (1)(高考全国卷II理科第20题)设函数．若对所有的，都有成立，求实数的取值范围．
(2)(高考陕西卷理科第21(2)题)设函数，其中是的导函数.若恒成立，求实数的取值范围．
解 (1)设，得．
由定理(1)得，即．
由导数易证，所以所求实数的取
2、值范围是．
(2)可得题设即“恒成立”．由(1)知，所求答案也为．
题2 (高考全国卷I理科第20(2)题)设函数，若对所有的，都有，求实数的取值范围．
解 同上可求得答案为．
题3 (高考全国卷II理科第22(2)题)设函数，若对所有的，都有，求实数的取值范围．
解 设，得．
由定理(1)得，即．
下证当时，只需证：
当且时，欲证成立．
当且时，得．
还须证明时，欲证成立．
即证．
设，因为用导数易证，所以
所以是增函数，得，即欲证成立．
所以所求实数的取值范围是．
题4 (高考新课标全国卷文科第21(2)题)设函数，若当时，都有，求的取值范围．
3、
解 题设即，也即，还即．
用以上方法可求得答案为．
题5 (高考陕西卷理科第20(3)题)已知函数，其中.若的最小值为1，求的取值范围．
解 设，得题设即.由定理(1)得，即．
当且时，还可证，即证．
设，得．
设，得，所以是增函数，得，即是增函数，所以，得欲证成立．
所以当时，．
得所求的取值范围是．
题6 (高考辽宁卷文科第21题)(1)证明：当时，；
(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
解 (1)略．
(2)设，得，所以由定理3(1)可得即．
当且时，还可得：
得所求实数的取值范围是．
题7 (高考辽宁卷理科第21题)已知函数．当
4、时：
(1)求证：；
(2)若求实数的取值范围．
解 (1)欲证的左边等价于.设，得．
得，所以当时，恒成立，所以是增函数，得，所以是增函数，得，即欲证成立．
可得欲证的右边等价于，这用导数极易证得．
(2)设，得题设即．
由定理(1)可得即．
当且时，还可得：
设，得．用导数可证得在[0,1]上是减函数，所以，即在[0,1]上是减函数，所以，进而可得：当时，恒成立．
得所求实数的取值范围是．
题8 (高考北京卷理科第18题)已知函数．
(1)求证：；
(2)若对恒成立，求的最大值与的最小值．
解 (1)略．
(2)设，得(由(1)得)，所以是减函数，得是减函数，所以所求的最大值是．
设，由题设得恒成立，，即．
用导数易证，即．
所以所求的最小值是1．
练习 1.若恒成立，求实数的取值范围．
2.设R).
(1)讨论函数的单调性；
(2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围.
答案：1.．
2.(1)得.
当时，可得恒成立,所以函数在上是增函数.
当时，可得函数在上是增函数，在上是减函数.
(2)可得题设即恒成立.
令,得题设即恒成立.
可得函数在附近是减函数，由定理3(1)得.
当时，是减函数，所以.
所以是减函数,得恒成立.
所以所求实数a的取值范围是.
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