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课堂10分钟达标
1.设P是椭圆x225+y216=1上的点.若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等
于 ( )
A.4 B.5 C.8 D.10
【解析】选D.由椭圆x225+y216=1,得a=5,
所以|PF1|+|PF2|=2×5=10.
2.已知a=13,c=23,则该椭圆的标准方程为 ( )
A.x213+y212=1
B.x213+y225=1或x225+y213=1
C.x213+y2=1
D.x213+y2=1或x2+y213=1
【解析】选D.a=13,c=23,
所以b2=(
2、13)2-(23)2=1,a2=13,而由于焦点不确定,所以D选项正确.
3.椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0,-8),F2(0,8),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为 ( )
A.x2100+y236=1 B.y2400+x236=1
C.y2100+x236=1 D.y220+x212=1
【解析】选C.焦点在y轴上,c=8,2a=20,a=10,所以b2=36.
所以椭圆方程为y2100+x236=1.
4.若椭圆的两焦点与短轴两端点在单位圆上,则此椭圆的内接正方形的边长为________.
【解析】不妨设椭圆方程为x2a2+y2b
3、2=1(a>b>0).
因为椭圆的两焦点与短轴两端点在单位圆上,
所以依题意,得b=c=1,a=2,
所以椭圆方程为x22+y2=1,
设此椭圆的内接正方形在第一象限的顶点坐标为(x0,x0),
代入椭圆方程,得x0=63,所以正方形的边长为263.
答案:263
5.已知椭圆的方程是x2a2+y225=1(a>5),它的两个焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=8,弦AB过焦点F1,则△ABF2的周长为________.
【解析】由已知c=4,所以a=b2+c2=41.
又根据椭圆定义可得:
△ABF2的周长为4a=441.
答案:441
6.已知椭
4、圆8x281+y236=1上一点M的纵坐标为2.
(1)求M的横坐标.
(2)求过M且与x29+y24=1共焦点的椭圆的方程.
【解析】(1)把M的纵坐标代入8x281+y236=1得8x281+436=1,即x2=9.所以x=±3,即M的横坐标为3或-3.
(2)对于椭圆x29+y24=1,
焦点在x轴上且c2=9-4=5,
故设所求椭圆的方程为x2a2+y2a2-5=1,
把M点的坐标代入得9a2+4a2-5=1,
解得a2=15.
故所求椭圆的方程为x215+y210=1.
7.【能力挑战题】已知椭圆x212+y23=1的左、右焦点分别为F1和F2,点P在椭圆上,若PF1的中点在y轴上,试求∠F1PF2的余弦值.
【解析】由椭圆方程知a=23,b=3,
所以c=a2-b2=3.
所以F1(-3,0),F2(3,0).
因为线段PF1的中点在y轴上,
所以P点横坐标为xP=3.
所以P点纵坐标yP=±32,
且PF2⊥x轴.
所以|PF2|=32,|PF1|=2a-|PF2|=732.
在Rt△PF2F1中,cos∠F1PF2=|PF2||PF1|=17.
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