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1、（人教版）精品数学教学资料
课后提升作业 二十
几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016·丽江高二检测)函数f(x)=x,则f′(3)等于 ( )
A.36 B.0 C.12x D.32
【解析】选A.因为f′(x)=(x)′=12x,
所以f′(3)=123=36.
【规律总结】求函数在某点处导数的方法
函数f(x)在点x0处的导数等于f′(x)在点x=x0处的函数值.在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数,再将x0代入导函数求解,不能先代入后求导.
2.若
2、y=lnx,则其图象在x=2处的切线斜率是 ( )
A.1 B.0 C.2 D.12
【解析】选D.因为y′=1x,
所以当x=2时,y′=12,
故图象在x=2处的切线斜率为12.
3.已知函数f(x)=x3的切线的斜率等于3,则切线有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定
【解析】选B.因为f′(x)=3x2=3,
解得x=±1.
切点有两个,即可得切线有两条.
【补偿训练】若曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线4x-y+1=0,则点P0的一个坐标是 ( )
A.(0,-2) B.(1,1)
3、
C.(-1,-4) D.(1,4)
【解析】选C.因为y′=3x2+1=4,所以x=±1,
所以y=0或-4,
所以P0的坐标为(1,0)或(-1,-4).
4.给出下列四个导数式:
①(x4)′=4x3;②(2x)′=2xln2;③(lnx)′=-1x;④1x′=1x2.
其中正确的导数式共有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【解析】选A.根据导数的基本公式求导,再判断即可.
①(x4)′=4x3;②(2x)′=2xln2;③(lnx)′=1x;
④1x′=-1x2,故①②正确.
【补偿训练】下列各式中正确的是 ( )
4、A.(lnx)′=x B.(cosx)′=sinx
C.(sinx)′=cosx D.(x-8)′=-18x-9
【解析】选C.因为(lnx)′=1x,(cosx)′=-sinx,(x-8)′=-8x-9=-8x9,所以A,B,D均不正确,C正确.
5.(2016·南宁高二检测)质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s=5t,则质点在t=4时的速度为 ( )
A.12523 B.110523
C.25523 D.110523
【解析】选B.s′=15t -45.
当t=4时,s′=15·1544=110523.
6.函数
5、y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为 ( )
A.94e2 B.2e2 C.e2 D.e22
【解析】选D.因为y′|x=2=e2,
所以切线方程为y-e2=e2(x-2).
当x=0时,y=-e2,
当y=0时,x=1.
故切线与坐标轴围成三角形面积为12×|-e2|×1=e22.
7.(2016·福州高二检测)设函数f(x)=logax,f′(1)=-1,则a= ( )
A.3 B.2 C.1e D.e
【解析】选C.因为f′(x)=1xlna,
所以f′(1)=1lna=-1.
所以l
6、na=-1.所以a=1e.
8.(2016·宝鸡高二检测)已知直线y=kx是曲线y=ex的切线,则实数k的值
为 ( )
A.1e B.-1e C.-e D.e
【解析】选D.设切点为(x0,ex0).y′=ex,
当x=x0时,y′=ex0,
所以过切点的切线方程为y-ex0=ex0(x-x0),
即y=ex0x+(1-x0)ex0,
又y=kx是切线,
所以k=ex0,(1-x0)ex0=0,所以x0=1,k=e.
【延伸探究】若将本题中的曲线“y=ex”改为“y=lnx”,则实数k= ( )
A.1e B.-1e C.-e
7、 D.e
【解析】选A.设切点为(x0,lnx0).y′=1x,
当x=x0时,y′=1x0,
所以过切点的切线方程为y-lnx0=1x0(x-x0),
即y=1x0x+lnx0-1,
所以lnx0-1=0,k=1x0,所以x0=e,k=1e.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·兴义高二检测)设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lgxn,则a1+a2+…+a99的值为 .
【解析】y′=(n+1)xn,曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),
令y=0,得xn=nn+
8、1.
an=lgxn=lgnn+1=lgn-lg(n+1),
则a1+a2+…+a99=lg1-lg2+lg2-lg3+…+lg99-lg100=-lg100=-2.
答案:-2
10.(2016·广州高二检测)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=lnx在x=e(e为自然对数的底数)处的切线与直线ax-y+3=0垂直,则实数a的值为 .
【解析】因为y=lnx的导数为y′=1x,
即曲线y=lnx在x=e处的切线斜率为k=1e,
由于切线与直线ax-y+3=0垂直,则a·1e=-1,
解得a=-e.
答案:-e
【补偿训练】函数f(x)=lnx的图象
9、在x=1处的切线方程是 .
【解析】f′(x)=1x,f′(1)=1,所以切点为(1,0),根据点斜式写出方程:y=x-1.
答案:y=x-1
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.求下列函数的导数.
(1)y=x8. (2)y=1x4. (3)y=3x.
(4)y=2x. (5)y=log2x. (6)y=cosπ2-x.
【解题指南】(1)利用幂函数公式求导.(2)转化为幂函数求导.(3)转化为幂函数求导.(4)利用指数函数求导.(5)利用对数函数求导.(6)先化简再求导.
【解析】(1)y′=(x8)′=8x8-1=8x7.
(2)y′=1x4′=(x-4)
10、′=-4x-5.
(3)y′=(3x)′=(x13)′=13x13-1=13x-23.
(4)y′=(2x)′=2xln2.
(5)y′=(log2x)′=1xln2.
(6)因为y=cosπ2-x=sinx,
所以y′=(sinx)′=cosx.
【规律总结】
1.公式记忆:对于公式(ax)′=axlna与(logax)′=1xlna记忆较难,又易混淆,要注意区分公式的结构特征,既要从纵的方面(lnx)′与(logax)′和(ex)′与(ax)′区分,又要从横的方面(logax)′与(ax)′区分,找出差异记忆公式.
2.求导注意点:
(1)应用导数公式时不需对公式说明,掌
11、握这些公式的基本结构和变化规律直接应用即可.
(2)需要根据所给函数的特征,恰当地选择公式.
(3)对一些函数求导时,要弄清一些函数的内部关系,合理转化后再求导,如y=3x2,y=1x3,可以转化为y=x23,y=x-3后再求导.
【补偿训练】求下列函数的导数.
(1)y=a2(a为常数).
(2)y=x12.
(3)y=x-5.
(4)y=lgx.
【解析】(1)因为a为常数,所以a2为常数,所以y′=(a2)′=0.
(2)y′=(x12)′=12x11.
(3)y′=(x-5)′=-5x-6=-5x6.
(4)y′=(lgx)′=1xln10.
12.(2016&
12、#183;烟台高二检测)求过曲线y=cosx上点Pπ3,12且与在这点的切线垂直的直线方程.
【解析】因为y=cosx,所以y′=-sinx,
曲线在点Pπ3,12处的切线斜率是
y′|x=π3=-sinπ3=-32.
所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为23,
所以所求的直线方程为y-12=23x-π3,
即2x-3y-2π3+32=0.
【误区警示】已知与曲线上某点的切线垂直这一条件具有双重含义:一是所求直线与切线垂直;二是所求直线也过此点.在确定与切线垂直的直线方程时,应注意函数在切点处的导数y′是否为零,当y′=0时切线平行或重合于x轴,过切点P垂直于切线的直线斜率不存在
13、.
【能力挑战题】
已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A,B两点,O是坐标原点,试在抛物线的弧AOB上求一点P,使△ABP的面积最大,并求最大值.
【解题指南】解答本题的关键点是注意到|AB|是定值,通过图形分析使△ABP的面积最大,只需点P到AB的距离最大,即点P是抛物线的平行于AB的切线的切点.
【解析】设P(x0,y0),过点P作与AB平行的直线为l,
如图,
设直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程组,得x-2y-4=0,y2=x
得x2-12x+16=0,x1+x2=12,x1x2=16,
所以|AB
14、|=1+k2|x1-x2|
=1+14(x1+x2)2-4x1x2=52144-64=10,
要使△ABP的面积最大,只要点P到AB的距离最大,而P点是抛物线的弧AOB上的一点,因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点,
由图知点P在x轴上方,y=x,y′=12x,
由题意知kAB=12.所以kl=12x0=12,即x0=1,
所以y0=1.所以P(1,1).
又点P到直线AB的距离d=|1-2-4|1+4=55=5,
所以S△PAB=12×|AB|·d=12×10×5=55.
故所求点为P(1,1),△ABP的面积最大值为55.
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人教版高中数学选修11：3.2 导数的计算 课后提升作业 二十 3.2.1 Word版含解析
