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1、
数学高考10招（2） 就地取材 无中生有
●计名释义
这一招是专门对付开放题的.
开放题有两种类型：一是开放条件；二是开放结论.
条件开放的试题，结论明确、解题方向清楚，但条件不足，也就是条件不充分，属于“必要不充分”的题型，我们的任务是补充能使结论成立的充分条件.
反之，结论开放的试题，条件充分，但结论不明确.我们的任务则是补充必要条件.
●典例示计
【例1】以下是武汉市某次高中调考中的一道数列题：
等差数列的前n项和为Sn，若（a1+a3）2=9，an＜0（），则S10等于（ ）
这道题从正面解，你会发现无论走哪条路，都“差条件
2、”，陷入欲进不得，欲罢不忍的困境.可是，你是否想到，也可以把选项作条件来用呢？
【解析】由于时恒有an＜0，必S10＜0，排除A、C；设若S10= -13，即有
10a1+109d=-13，那么a1+d=. （1）
但由（a1+a3）2=9，an＜0可得a1+a3= -3，也就是a1+ d= （2）
（1）-（2）：d=，于是d＞0，这与时恒有an＜0矛盾，故排除D，选B.
本解使用的，正是“就地取材”的计策.如果你感到题干中的“条件不够”，陷入“山穷水复疑无路”的困境，不妨在选项中就地发现“柳暗花明又一村”.
那么，什么又是“无中生有”呢？请看
【例2】06年湖南卷
3、的文科10题：
如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB几AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且OP=x0A+yOB，则实数对（x，y）可以是 （ ）
【解析】如图，设向量OP符合要求.过P作
PA1∥AB，交OA于A1，OB于B1，令
，显然0＜k＜1.
再令，∵点P在A1B1的延长线上，
必λ＞1.于是
.于是
.
由（1）知x＜0，排除A；由（1）+（2）得：x+y=k∈（0，1），排除B，D，∴选C.
为了解题的需要，我们不仅添加了辅助线，还引入了k，λ这些参变量，这都是“无中生有”；又
4、为了免除繁杂的计算，我们又在选项中“就地取材”. 再请看
【例3】06年湖南卷的理科15题：
如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB几AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且OP=x0A+yOB，则x的取值范围是
当时，y的取值范围是
【解析】同上题解法，得：
由于k∈（0，1）且λ＞1，∴x＜0.即
当时，∵x+y=k，∴y=k-x=k+∈（）.
【评注】咋一看湖南这两道题，的确有“树高荫深，叫樵夫难以下手”之感。因为仅凭现有图形，是无论如何也难以找到正确答案的。唯一可行之路，就是“无中生有”了，于是笔者按要求随意画一条向量（即解图中的OP）试试看，又想到关于向量
5、的问题多能用平移解决，在作出平行线PA1后，已是豁然开朗，成竹在胸了.这难道不是“无中生有”的神奇麽？
例4题图
【例4】如图所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，
E、F、G、H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点，N是BC
中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只要满足条件
时，就有MN∥平面B1BDD1（请填上你认为正确的一
个条件即可，不必考虑全部可能情况）.
【思考】显然HN∥BD，即得HN∥平面B1BDD1，
为使点M在平面EFGH内运动时总有B1BDD1∥MN,只需过HN
作平面，使之平行于平面在平面B1BDD1,将线面平
6、行的问题转化
为面面平行的问题.
【解析】连FH，当点M在HF上运动时，恒有
MN∥平面B1BDD1证明如下：连 NH ，HF，BD，B1D1，
且平面NHF交B1C1于P.则NH ∥BD，HF∥BB1，故
平面PNHF∥平面BB1D1D.MN平面PNHF，
∴MN∥平面B1BDD1
【例5】 知F(x)是二次项系数为负数的二次函数，
且对于任何x∈R,f(2－x)=f(2+x)总成立，问f(1－2x2)与
f(1+2x－x2)满足什么条件时，才能使－2
7、类讨论.
【解答】 由题设知：函数f(x)的图象是开口向下且对称轴为直线x=2的抛物线.
故函数f(x)在上是增函数；在上是减函数.
∵1－2x2≤1<2,1+2x－x2=－(x－1)2+2≤2,∴1－2x2∈,1+2x－x2∈.
当f(1－2x2)0,解得x<－2或x>0,不能使－2f(1+2x－x2)时，1－2x2>1+2x－x2,
即x2+2x<0,解得－2
8、∴当f(1－2x2)>f(1+2x－x2)时，才能使－2
9、Δ=112+168=249不是完全平方数.∴符合条件的m不存在.
综上所述，能构造出满足条件①，②，③的等比数列，该自然数m=3,数列的通项公式为：
.
【例6】 将二次函数f(x)=ax2+bx+c对应于一次函数g(x)=2ax+b.
（1）求f(x)=x2+2x+1对应的一次函数g(x).
（2）观察后请写出这个对应法则.
（3）可以用g(x)的某些性质来研究f(x)的性质：当g(x)>0时，对应的f(x)的性质有哪些？
（4）你还能研究另外的某些性质吗？
（5）设g(x)=x，写出与g(x)对应的f(x)的三个不同的解析式.
【思考】 本例是结论开放型试题，解
10、题时要求根据已知条件将结论（必要条件）补充完整.f(x)与g(x)是什么关系？我们容易由f′(x)=2ax+b,知f′(x)=g(x),可见，只有当g(x)=f′(x)时，才有可能用g(x)的性质来研究f(x)的某些性质.
【解答】 (1)∵a=1,b=2，∴g(x)=2x+2.
（2）①g(x)的一次项系数是f(x)的二次项系数与其次数的积；
②g(x)的常数项等于f(x)的一次项系数.
(3)g(x)>0，即2ax+b>0,当a>0时，x>－,而x=－是f(x)的对称轴，故这时f(x)是单调增函数；a<0时,x<－,f(x)仍为单调增函数(前者单调区间为.后者单调区间为).
11、(4)当g(x)<0时，f(x)是单调减函数(请仿照（3）证明之).
(5)g(x)=x时，2ax+b=x,知a=,b=0.只须在f(x)=ax2+bx+c中，命a=,b=0,c取任意值即可，如f(x)= x2+1,f(x)=x2+,f(x)= x2+5.
【小结】 指导开放题解法的理论依据是充分必要条件，即若AB,则称A为B的充分条件，B为A的必要条件.
●考前预演
第1题图
1.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，O为CD上的动点，
四边形ABCD满足条件 时，VP—AOB恒为定
值（写出你认为正确的一个条件即可）.
2.对于x∈R,试确定y=的所有可能的值.
3.已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120,当k为何值时，
（1）ka－b与a－kb垂直？
（2）|ka－2b|取得最小值?
4.已知圆O′过定点A（0,P）(P>0),圆心O′在抛物线x2=2Py上运动，MN为圆O′在x轴上截得的弦，令|AM|=d1,|AN|=d2,∠MAN=θ.
（1）当O′运动时，|MN|是否有变化，并证明你的结论；
（2）求的最大值,并求取得最大值的θ的值.
高考数学 兵法10招2就地取材无中生有
