高中数学苏教版必修4学案：第2章 章末分层突破 Word版含解析

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1、 精品资料 章末分层突破 [自我校对] ①坐标 ②平行四边形 ③|a|＝ ④cos θ＝ 向量的线性运算 向量的线性运算包括向量的加法运算、减法运算及数乘运算，其中平面向量基本定理及向量共线定理是考查的重点，解题时要结合图形灵活构造三角形或平行四边形． 　如图2­1所示，在△ABC中，点M为AB的中点，且＝，与相交于点E，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示. 图2­1 【精彩点拨】　先由C，E，M三点共线⇒＝μ＋(1－μ)，由B，E，N三点共线⇒＝λ＋(1－λ)，再由，不共线

2、求λ，μ的值． 【规范解答】　∵＝＝b，＝＝a，由N，E，B三点共线知存在实数λ满足＝λ＋(1－λ)＝λb＋(1－λ)a. 由C，E，M三点共线知存在实数μ满足＝μ＋(1－μ)＝a＋(1－μ)b. ∴解得 ∴＝a＋b. [再练一题] 1．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋2b与2a－4b平行，求实数k的值． 【解】　∵ka＋2b＝(k－6,2k＋4)，2a－4b＝(14，－4)， 由(ka＋2b)∥(2a－4b)得 (k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0， 解得k＝－1. 向量的数量积运算 数量积的运算是向量运算的核心，利用向量

3、的数量积可以解决以下问题： 1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 平行问题 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0 垂直问题 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 2.求向量的模及夹角问题， (1)设a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝； (2)两向量a，b夹角θ的余弦(0≤θ≤π)， cos θ＝＝. 　设向量＝a，＝b，且||＝||＝4，∠AOB＝60°. (1)求|a＋b|，|a－b|； (2)求a＋b与a的夹角θ1，a－b与a的夹角θ2. 【精彩点拨】　利用|a±b|＝求解；利用cos θ＝求夹角． 【规范解答】　(1)∵|a＋b

4、|2＝(a＋b)(a＋b)＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝16＋2×4×4cos 60°＋16＝48， ∴|a＋b|＝4， ∴|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝16， ∴|a－b|＝4. (2)∵(a＋b)·a＝|a|2＋a·b＝16＋4×4cos 60°＝24， ∴cos θ1＝＝＝. ∵θ∈[0°，180°]，∴θ1＝30°. ∵(a－b)·a＝|a|2－a·b＝16－4×4cos 60°＝8， ∴cos

5、θ2＝＝＝. ∵θ2∈[0°，180°]，∴θ2＝60°. [再练一题] 2．已知c＝ma＋nb，c＝(－2，2)，a⊥c，b与c的夹角为，b·c＝－4，|a|＝2，求实数m，n的值及a与b的夹角． 【解】　∵c＝(－2，2)，∴|c|＝4， 又a⊥c，∴a·c＝0. ∵b·c＝|b||c|cos ＝|b|×4×＝－4， ∴|b|＝2， 又c＝ma＋nb，∴c2＝ma·c＋n·b·c， ∴16＝－4n，∴n＝－4. 又a·c＝ma2＋na·b，

6、 ∴0＝8m－4a·b.① 又b·c＝ma·b＋n·b2， ∴ma·b＝12.② 由①②得m＝±， ∴a·b＝±2 ∴cos θ＝＝±，∵θ∈[0，π] ∴θ＝或. 向量的应用 平面向量的应用主要体现在两个方面：一是在平面几何中的应用，向量的加减运算、向量的相等、平行、数乘向量、距离、夹角和向量的数量积之间有密切的联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题；二是在物理学中的应用，主要解决力、位移、速度等问题． 　如图2­2，在等腰直角△ABC中，角C是直角，CA＝C

7、B，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE. 图2­2 【精彩点拨】　欲证AD⊥CE，即证·＝0.由于已有·＝0，故考虑选此两向量为基底，从而应用此已知条件．另外，如果进一步考虑到此组基底是垂直关系，还可以建立直角坐标系． 【规范解答】　法一：记＝a，＝b， 则＝b－a，且a·b＝0，|a|＝|b|. 因为＝－＝b－a. ＝－＝(b－a)＋a＝b＋a，所以 ·＝·＝b2－a2＝0. 可得AD⊥CE. 法二：建立如图所示的直角坐标系，不妨设AC＝BC＝2， 则C(0,0)，A(2,

8、0)，B(0,2)， 因为D是CB的中点，则D(0,1)． 所以＝(－2,1)，＝(－2,2) 又＝＋＝＋＝(2,0)＋(－2,2)＝，所以·＝(－2,1)·＝(－2)×＋＝0，因此AD⊥CE. [再练一题] 3.如图2­3，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求： 图2­3 (1)|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况． (2)当|F1|≤2|G|时，θ角的取值范围． (3)当|F1|＝2|F2|时，求角θ的值． 【解】　(1)由力的平衡原理知，G＋F1

9、＋F2＝0，作向量＝F1，＝F2，＝－G，则＋＝，∴四边形OACB为平行四边形，如图． 由已知∠AOC＝θ，∠BOC＝， ∴||＝，||＝||＝||tan θ. 即|F1|＝，|F2|＝|G|tan θ，θ∈. 由此可知，当θ从0逐渐增大趋向于时，|F1|，|F2|都逐渐增大． (2)当|F1|≤2|G|时，有≤2|G|， ∴cos θ≥，又θ∈.∴θ∈. (3)当|F1|＝2|F2|时，＝2|G|tan θ，∴＝，∴sin θ＝. ∴θ＝. 数形结合思想 平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合思想．引入向量的坐标表示，使向量运算

10、代数化，将“数”和“形”紧密地结合起来．运用数形结合思想可解决共线、平行、垂直、夹角、距离、面积等问题． 　已知向量＝(2,0)，＝(2,2)，＝(cos α，sin α)，则与夹角的范围是________． 【精彩点拨】　结合的坐标给出点A的轨迹，并由直线与圆的知识求与夹角的范围． 【规范解答】　建立如图所示的直角坐标系． ∵＝(2,2)，＝(2,0)，＝(cos α，sin α)， ∴点A的轨迹是以C(2,2)为圆心，为半径的圆． 过原点O作此圆的切线，切点分别为M，N，连结CM，CN，如图所示，则向量与的夹角范围是∠MOB≤〈，〉≤∠NOB. ∵||＝2， ∴||＝|

11、|＝||， 知∠COM＝∠CON＝，但∠COB＝. ∴∠MOB＝，∠NOB＝， 故≤〈，〉≤. 【答案】　 [再练一题] 4．已知船在静水中的速度大小为5 m/s，且船在静水中的速度大小大于水流速度大小，河宽为20 m，船垂直到达对岸用的时间为5 s，则水流速度大小为________m/s. 【解析】　设船在静水中的速度为v1，水流速度为v2，船的实际速度为v3，建立如图所示的平面直角坐标系．|v1|＝5 m/s， |v3|＝＝4 m/s，则v3＝(0,4)，v1＝(－3,4)， v2＝v3－v1＝(0,4)－(－3,4)＝(3,0)． ∴|v2|＝3 m/s，即水流的速度

12、大小为3 m/s. 【答案】　3 1．(2015·江苏高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为______． 【解析】　∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴∴∴m－n＝2－5＝－3. 【答案】　－3 2．(2015·全国卷Ⅰ改编)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝________. 【解析】　方法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)， 所以从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)． 方法二：＝(3,2)－(0,

13、1)＝(3,1)， ＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 【答案】　(－7，－4) 3．(2015·北京高考)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________. 【解析】　∵＝2，∴＝. ∵＝，∴＝(＋)， ∴＝－＝(＋)－ ＝－. 又＝x＋y，∴x＝，y＝－. 【答案】　　－ 4．(2014·江苏高考)如图2­4，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________． 图2­4 【解析】　由＝3，得＝＝，＝＋＝＋

14、，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以·＝2，即2－·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22. 【答案】　22 5．(2016·全国卷Ⅱ改编)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝________. 【解析】　(方法1)因为a＝(1，m)，b＝(3，－2)，所以a＋b＝(4，m－2)． 因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，所以12－2(m－2)＝0，解得m＝8. (方法2)因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即a·b＋b2＝3－2m＋32＋(－2)2＝16

15、－2m＝0，解得m＝8. 【答案】　8 6．(2016·四川高考改编)在平面内，定点A，B，C，D满足||＝||＝||，·＝·＝·＝－2，动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是________． 图(1) 【解析】　法一：∵||＝||＝||， ∴点A，B，C在以点D为圆心的圆上． 又∵·＝·＝·＝－2， ∴，，两两夹角相等，均为120°，如图(1)所示． 设圆D的半径为r，则·＝r·r·cos 120°＝－2，∴r＝2. ∵＝，∴M为PC的

16、中点． ∵||＝1， ∴点P在以点A为圆心，1为半径的圆上． 由上知△ABC为等边三角形，边长为2. 设AC的中点为O，连接DO，OM，则点B，D，O三点共线， 则||＝3，＝＋＝＋. ∴2＝2＝2＋·＋2 ＝9＋3×1×cos〈，〉＋＝＋3cos〈，〉 ≤＋3＝，当与同向时取等号，即||2的最大值是. 法二：∵||＝||＝||， ∴点A，B，C在以点D为圆心的圆上． ∵·＝·＝·＝－2， ∴，，两两夹角相等，均为120°. 由·＝||2×cos 120°＝－2，得||

17、＝2. 以D为坐标原点，DA所在直线为x轴建立平面直角坐标系如图(2)所示，则B(－1，)，C(－1，－)，A(2,0)． 图(2) 由＝知M为PC的中点． ∵||＝1， ∴点P在以点A为圆心，1为半径的圆上． 设点P的坐标为(2＋cos θ，sin θ)，其中θ为以点A为顶点，以x轴正方向为始边逆时针旋转到AP所成的角， 则M， ＝， ∴||2＝＋ ＝ ＝≤＝. ∴||2的最大值为. 【答案】　 7．(2016·全国卷Ⅲ改编)已知向量＝，＝，则∠ABC＝________. 【解析】　因为＝，＝，所以·＝＋＝.又因为·＝||||&

18、#183;cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°. 【答案】　30° 8．(2016·天津高考改编)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为________． 【解析】　如图所示，＝＋. 又D，E分别为AB，BC的中点， 且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝， 所以＝＋. 又＝－， 则·＝·(－) ＝·－2＋2－·

19、 ＝2－2－·. 又||＝||＝1，∠BAC＝60°， 故·＝－－×1×1×＝. 【答案】　 9．(2016·山东高考改编)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为________． 【解析】　∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋|n|2＝0， ∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0. 又4|m|＝3|n|，∴t×|n|2×＋|n|2＝0， 解得t＝－4. 【答案】　－4 10．(

20、2016·江苏高考)如图2­5，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________． 图2­5 【解析】　由题意，得·＝(＋)·(＋) ＝(＋)·(－＋)＝2－2 ＝||2－||2＝－1，① ·＝(＋)·(＋) ＝(＋3)·(－＋3) ＝92－2 ＝9||2－||2＝4.② 由①②得||2＝，||2＝. ∴·＝(＋)·(＋) ＝(＋2)·(－＋2)＝42－2 ＝4|

21、|2－||2＝4×－＝. 【答案】　 章末综合测评(二)　平面向量 (时间120分钟，满分160分) 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．已知作用在点A(1,1)的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是________． 【解析】　∵F＝(8,0)，∴终点坐标为(8,0)＋(1,1)＝(9,1)． 【答案】　(9,1) 2.－＋＋＝________. 【解析】　原式＝＋＋＝0＝ . 【答案】　 3．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)

22、，若c＝λa＋μb，则λ，μ的值分别是________． 【解析】　∵c＝λa＋μb， ∴(－1,2)＝(λ，λ)＋(μ，－μ)， ∴∴ 【答案】　，－ 4．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与向量同向的单位向量的坐标是________． 【解析】　＝(3，－4)，||＝5，∴e＝＝(3，－4)＝. 【答案】　 5．(2016·镇江高一检测)已知向量a＝(3x,1)，b＝(2，－5)，若a∥b，则x＝________. 【解析】　∵a∥b，∴－15x＝2，x＝－. 【答案】　－ 6．若|a|＝1，|b|＝2，a·b＝－1，则|a－b|＝_____

23、___. 【解析】　∵|a|＝1，|b|＝2，a·b＝－1 ∴|a－b|＝＝＝. 【答案】　 7．平面向量a，b中，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝________. 【解析】　设b＝(x，y)，则 ∴即b＝. 【答案】　 8．(2016·扬州高一检测)下列5个说法： ①共线的单位向量是相等向量； ②若a，b，c满足a＋b＝c时，则以|a|，|b|，|c|为边一定能构成三角形； ③对任意的向量，必有|a＋b|≤|a|＋|b|； ④(a·b)c＝c(b·c)； ⑤(a＋b)·c＝a

24、83;c＋b·c.其中正确的是________． 【解析】　共线也有可能反向，故①不正确；若|a|＝0，显然不能构成三角形，故②不正确；由数量积的性质知④不正确；由向量加法的三角形法则知③正确；由数量积的性质知⑤正确． 【答案】　③⑤ 9．(2016·南京高一检测)已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)，且2a－b与b垂直，则|a|等于________． 【解析】　2a－b＝(3，n)，∵(2a－b)·b＝0，∴n2－3＝0，∴n2＝3，∴|a|2＝1＋n2＝4，∴|a|＝2. 【答案】　2 10．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y

25、)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为________． 【解析】　∵a∥b，∴2×(－2)－(－1)x＝0，解得x＝4， ∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)． ∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0， 即6－3(－2－y)＝0，解得y＝－4， ∴＝(y－x，x－y)＝(－8,8)，∴||＝8. 【答案】　8 11．(2016·泰州高一检测)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是________． (1)|b|

26、＝1；(2)a⊥b；(3)a·b＝1；(4)(4a＋b)⊥. 【解析】　如图△ABC是边长为2的等边三角形． 由已知b＝－2a＝－＝， 显然(1)(2)(3)错，(4a＋b)·＝2·＋||2＝2×2×2×cosπ＋22＝0，∴(4a＋b)⊥. 【答案】　(4) 12．如图1，非零向量＝a，＝b，且BC⊥OA，C为垂足，若＝λa，则λ＝________. 图1 【解析】　＝－＝λa－b，∵⊥，∴a·(λa－b)＝0，则λ＝. 【答案】　 13．已知向量a＝(6,2)，b＝，直线l过点A(3，－1)且与向量

27、a＋2b垂直，则直线l的方程为________． 【解析】　∵a＋2b＝(－2,3)， 在l上任取一点P(x，y)，则有⊥(a＋2b)， ∴·(a＋2b)＝0， ∴(x－3，y＋1)·(－2,3)＝0， ∴2x－3y－9＝0. 【答案】　2x－3y－9＝0 14．已知＝(2,2)，＝(4,1)，O为坐标原点，在x轴上求一点P，使·有最小值，则P点坐标为________． 【解析】　设P(x,0)，∴·＝(x－2，－2)·(x－4，－1)＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，当x＝3时，·有最小

28、值，∴P(3,0)． 【答案】　(3,0) 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)在平行四边形ABCD中，＝a，＝b， (1)如图①，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用a，b分别表示，. (2)如图②，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示. 图2 【解】　(1)＝＋＝＋＝－＝－a＋b. ＝＋＝－＝a－b. (2)＝－＝b－a， ∵O是BD的中点，G是DO的中点， ∴＝＝(b－a)， ∴＝＋＝a＋(b－a) ＝a＋b. 16．(本小题满分14分)已知平面向量a＝(1，x)

29、，b＝(2x＋3，－x)，x∈R. (1)若a⊥b，求x的值； (2)若a∥b，求|a－b|. 【解】　(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0. 整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3. (2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2. 当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)， ∴a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2. 当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，|a－b|＝＝2. 17．(本小题

30、满分14分)(2016·无锡高一检测)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值． 【解】　(1)由题设，知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)． 所以|＋|＝2，|－|＝4.故所求的两条对角线长分别为4，2. (2)由题设，知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)． 由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0， 从而5t＝－11，所以t＝－.

31、18．(本小题满分16分)设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 【解】　由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角， 得＜0， 即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0. 整理得：2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＜0.(*) ∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°. ∴e1·e2＝2×1×cos 60°＝1 ∴(*)式化简得：2t2＋15t＋7＜0. 解得：

32、－7＜t＜－. 当向量2te1＋7e2与e1＋te2夹角为180°时， 图3 设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)． 对比系数得， ∴ ∴所求实数t的取值范围是 ∪. 19．(本小题满分16分)设作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，F1与F2的夹角为π，如图3所示． 求：(1)F3的大小； (2)∠F3OF2的大小． 【解】　(1)F1、F2、F3三个力处于平衡状态， 故F1＋F2＋F3＝0. 即F3＝－(F1＋F2)． ∴|F3|＝|F1＋F2|＝ ＝ ＝＝. (2)如图所示，以F2所在

33、直线为x轴，合力作用点为坐标原点，建立直角坐标系，将向量F1，F3正交分解，设∠MOF3＝θ， 由受力平衡知 即 将数值代入得 ∴θ＝. 于是得∠F3OF2＝π－＝π. 20．(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，且点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t)，θ∈. (1)若⊥a，且||＝||，求向量； (2)若向量与向量a共线，当k＞4，且tsin θ取最大值4时，求·. 【解】　(1)因为＝(n－8，t)，且⊥a， 所以8－n＋2t＝0，即n＝8＋2t. 又||＝||， 所以5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，解得t＝±8. 则n＝24或－8， 所以＝(24,8)或(－8，－8)． (2)因为＝(ksin θ－8，t)，与a共线， 所以t＝－2ksin θ＋16. 又tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ ＝－2k2＋， 当k＞4时，1＞＞0， 所以当sin θ＝时，tsin θ取得最大值； 由＝4，得k＝8，此时θ＝， 故＝(4,8)， 所以·＝8×4＋8×0＝32.