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1、
课时提升作业(七十四)
一、选择题
1.在△ABC中,MN∥BC,MC,NB交于O,则图中相似三角形的对数为
( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2.如图所示,给出下列条件:①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB;
③ACCD=ABBC;④AC2=ADAB,其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为
( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
3.如图,在平行四边形ABCD中,已知AE∶EB=1∶2,△AEF的面积为6,则△CDF的面积为 ( )
(A)12 (B)24
2、 (C)18 (D)54
二、填空题
4.如图,已知D为△ABC中AC边的中点,AE∥BC,ED交AB于G,交BC延长线于F,若BG∶GA=3∶1,BC=8,则AE= .
5.(20xx西安模拟)如图所示,已知在△ABC中,∠C=90,正方形DEFC内接于△ABC,DE∥AC,EF∥BC,AC=1,BC=2,则AF∶FC等于 .
6.(20xx永州模拟)如图,△ABC中,BC=4,∠BAC=120,AD⊥BC,过B作CA的垂线,交CA的延长线于E,交DA的延长线于F,则AF= .
三、解答题
7.已知如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,点D是
3、垂足,求证:BC2=2CDAC.
8.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD与AC相交于点O,过点O的直线分别交AB,CD于点E,F,且EF∥BC,若AD=12,BC=20,求EF.
9.(20xx宿州模拟)如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=13AC,AE=23AB,BD,CE相交于点F.
(1)求证:A,E,F,D四点共圆.
(2)若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.
10.如图,在▱ABCD中,AE,BF分别平分∠DAB和∠ABC,交CD于点E,F,AE,BF相交于点M.
(1)试说明:AE⊥BF.
(2)判断线段DF
4、与CE的大小关系,并予以证明.
11.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90,E,F是BC边上的两点,∠EAF=45.
求证:EF2=BE2+CF2.
12.如图,▱ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE=12CD.
(1)求证:△ABF∽△CEB.
(2)若△DEF的面积为2,求▱ABCD的面积.
答案解析
1.【解析】选B.根据条件知,△MNO∽△CBO,△AMN∽△ABC.
2.【解析】选C.①②利用有两角分别对应相等的两个三角形相似;③两边对应成比例不能判断两个三角形相似;④利用有一角相等且此角
5、的两边对应成比例的两个三角形相似.
3.【解析】选D.由题设,AE∶EB=1∶2,
∴AE∶AB=1∶3,∴AE∶CD=1∶3.
又AE∥CD,∴△AEF∽△CDF,
∴S△AEFS△CDF=AE2CD2=19.
又∵△AEF的面积为6,
∴S△CDF=9S△AEF=54,故选D.
4.【解析】∵AE∥BC,D为AC的中点,
∴AE=CF,AEBF=AGBG=13.
设AE=x,
又BC=8,∴xx+8=13,
∴x=4,∴AE=4.
答案:4
5.【解析】设正方形边长为x,则由△AFE∽△ACB,可得AFAC=FEBC,即1-x1=x2,所以x=23,于是AF∶F
6、C=1∶2.
答案:1∶2
6.【解析】设AE=x,
∵∠BAC=120,∴∠EAB=60.
又AE⊥EB,∴AB=2x,BE=3x,
∴AEBE=x3x=13.
在Rt△AEF与Rt△BEC中,
∠F=90-∠EAF=90-∠DAC=∠C,
∴△AEF∽△BEC,∴AFBC=AEBE,
∴AF=413=433.
答案:433
7.【证明】过点A作AE⊥BC,垂足为E,
∴CE=BE=12BC.
由BD⊥AC,AE⊥BC,
又∵∠C=∠C,
∴△AEC∽△BDC,
∴ECDC=ACBC,∴12BCCD=ACBC,
即BC2=2CDAC.
8.【解析】∵AD
7、∥BC,∴OBOD=BCAD=2012=53.
∴OBBD=58.∵OE∥AD,∴OEAD=OBBD=58,
∴OE=58AD=5812=152,
同理可得OF=38BC=3820=152,
∴EF=OE+OF=15.
9.【解析】(1)∵AE=23AB,∴BE=13AB.
∵在正△ABC中,AD=13AC,∴AD=BE.
又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE,∴△BAD≌△CBE,
∴∠ADB=∠BEC,即∠ADF+∠AEF=π,
∴A,E,F,D四点共圆.
(2)取AE中点G,连结GD,
则AG=GE=12AE.
∵AE=23AB,∴AG=GE=13AB=23,
A
8、D=13AC=23,∠DAE=60.
∴△AGD为正三角形,∴GD=GA=AD=23,
即GA=GE=GD=23,∴G是△AED外接圆圆心.
且圆G的半径为23,
∵A,E,F,D四点共圆,
即A,E,F,D四点共圆G,其半径为23.
10.【解析】(1)∵在▱ABCD中,AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180.
∵AE,BF分别平分∠DAB和∠ABC,
∴∠DAB=2∠BAE,∠ABC=2∠ABF,
∴2∠BAE+2∠ABF=180,
即∠BAE+∠ABF=90,
∴∠AMB=90,∴AE⊥BF.
(2)线段DF与CE是相等关系,即DF=CE.
∵在▱ABCD
9、中,CD∥AB,
∴∠DEA=∠EAB.
又∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠EAB,
∴∠DEA=∠DAE,∴DE=AD.
同理CF=BC.
又∵在▱ABCD中,AD=BC,
∴DE=CF,
∴DE-EF=CF-EF,即DF=CE.
11.【证明】如图,以AE为边作△AEG≌△AEB,连接FG.
∵△AEG≌△AEB,
∴∠1=∠2,∠5=∠B=45,
AG=AB=AC.
∵∠1+∠3=∠EAF=45,
∠BAC=90,∴∠2+∠4=45,∴∠3=∠4.
又∵AF=AF,∴△AFG≌△AFC,
∴∠6=∠C=45.
∴∠EGF=∠5+∠6=45+45=90,
10、
∴△EFG是直角三角形,
∴GE2+GF2=EF2,∴EF2=BE2+CF2.
12.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,AB∥CD,
∴∠ABF=∠CEB,∴△ABF∽△CEB.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.∵DE=12CD,
∴S△DEFS△CEB=(DEEC)2=19,S△DEFS△ABF=(DEAB)2=14.
∵S△DEF=2,∴S△CEB=18,S△ABF=8,
∴S四边形BCDF=S△BCE-S△DEF=16,
∴S四边形ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24.
高考数学 复习 选修41 第一节
