【备战】湖北版高考数学分项汇编 专题10 立体几何含解析

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1、专题10 立体几何 一．选择题 1. 【2005年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷5】木星的体积约是地球体积的倍，则它的表面积约是地球表面积的（ ） A．60倍 B．60倍 C．120倍 D．120倍 2.【2005年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷8】已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题 ①若； ②若； ③若； ④若a与b异面，且相交； ⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直. 其中真命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】 试题分析：①③④⑤是假命题，②是真命题，

2、选A. 3.【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷6】关于直线m、n与平面与，有下列四个命题：（D） ①若且，则； ②若且，则； ③若且，则； ④若且，则； 其中真命题的序号是( ) A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】D 【解析】 试题分析：用排除法可得选D. 4.【2007年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷5】在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=（0≤≤1），则点G到平面D1EF的距

3、离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析：因为A1B1∥EF，G在 A1B1上，在所以G到平面D1EF的距离即是A1到面D1EF的距离，即是A1到D1E的距离，D1E=，由三角形面积可得所求距离为，故选D. 5.【2008年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷4】用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析：易知球的半径是，所以根据球的体积公式知，故D为正确答案．

4、6.【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷6】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=900,∠ACC1=600,∠BCC1=450,侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析：过顶点A作底面ABC的垂线，由已知条件和立体几何线面关系易求得高的长. 7.【2010年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷4】用、、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题： ①若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则⊥； ③若

5、∥，∥，则∥；④若⊥，⊥，则∥. 正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④ 8.【2011年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】设球的体积为，它的内接正方体的体积为．下列说法中最合适的是（ ） A．比大约多一半 B．比大约多两倍半 C．比大约多一倍 D．比大约多一倍半 9. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷16】我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八

6、寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸. （注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） 10.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ） A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和② 【答案】D 【解析】 试题分析：在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的

7、画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D. 考点：空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，正视图与俯视图的面积，容易题. 11. 【2015高考湖北，文5】表示空间中的两条直线，若p：是异面直线；q：不相交，则（ ） A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 二．填空题 1.【2010年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷14】圆柱形容器内盛有高度为3cm的水

8、，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是____cm. 【答案】4 【解析】 试题分析：本题考查了求解圆柱和球的体积问题.设球的半径为R，则由题意可知，解得R=4cm. 2.【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷15】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 . 三．解答题 1. 【2005年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷20】如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1. （Ⅰ）求BF的长；

9、 （Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离. 【解析】法1：（Ⅰ）过E作EH//BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD. 又∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC1. ∴DF=C1H=2. 2. 【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷18】如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝2C1N. （Ⅰ）求二面角B1－AM－N的平面角的余弦值； （Ⅱ）求点B1到平面AMN的距离。 【解析】解法1：（Ⅰ）因为M是底面BC边

10、上的中点，所以AMBC，又AMC,所以AM面BC， （Ⅱ）设n=(x,y,z)为平面AMN的一个法向量，则由得 故可取 设与n的夹角为a，则。 所以到平面AMN的距离为。 3. 【2007年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷17】如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC；D是AB的中点，且AC＝BC＝a，∠VDC＝θ. （Ⅰ）求证：平面VAB⊥平面VCD； （Ⅱ）试确定角θ的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为. 从而，即． 解法3：（Ⅰ）以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，于是，，． 从而，即． 同理

11、，即． 又，平面． 又平面， 平面平面． A D B C V x y z 、 A D B C V x y 4. 【2008年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷18】如图，在直三棱柱中，平面侧面 （Ⅰ）求证： （Ⅱ）若，直线AC与平面所成的角为，二面角 证法2：由(Ⅰ)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 5. 【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷18】如图，四棱锥S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上

12、的点，且DE＝a(0<≦1). (Ⅰ)求证：对任意的（0、1），都有AC⊥BE: (Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600C，求的值。 6. 【2010年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷18】如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA。OC⊥OB，∠AOB=120，且OA=OB=OC=1 （Ⅰ）设P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ，证明：PQ⊥OA； （Ⅱ）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值. （Ⅱ）连结PN,PO. 由OCOA，OCOB知：OC平面OAB。 又ON平面OAB， OCON. 又由ONOA知：ON平面AOC. OP是NP在平

13、面AOC内的射影。 在等腰Rt△COA中，P为AC的中点，ACOP。 根据三垂线定理，知：ACNP. 为二面角O-AC-B的平面角。 在等腰Rt△COA中，OC=OA=1, OP=。 在Rt△AON中，ON=OA=， 在Rt△PON中，PN==, cos。 7. 【2011年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷18】如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点在侧棱上，点在侧棱上，且，． （Ⅰ）求证； （Ⅱ）求二面角的大小． （Ⅰ），，， ． 8. 【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷19】某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下

14、部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱. （Ⅰ）证明：直线平面； （Ⅱ）现需要对该零部件表面进行防腐处理. 已知，，，（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？ 9. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷20】如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为，，且. 过，的中点，且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一

15、个中截面，其面积记为． （Ⅰ）证明：中截面是梯形； （Ⅱ）在△ABC中，记，BC边上的高为，面积为. 在估测三角形区域内正下方的矿藏储量（即多面体的体积）时，可用近似公式来估算. 已知，试判断与V的大小关系，并加以证明. 第20题图 10.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷19】如图，在正方体中，，，，，，分别是棱，，， ，，的中点. 求证： （1）直线∥平面； （2）直线⊥平面. 【解析】（1）连接，由是正方体，知， 因为，分别是，的中点，所以. 从而. 而

16、平面，且平面， 故直线∥平面． （2）如图，连接，，则. 由平面，平面，可得. 又，所以平面. 而平面，所以. 因为，分别是，的中点，所以，从而. 同理可证. 又，所以直线⊥平面. 考点：正方体的性质，空间中的线线、线面、面面平行于垂直. 11. 【2015高考湖北，文20】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接. （Ⅰ）证明：平面. 试判断四面体是 否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； （Ⅱ）记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值．