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1、
一、题之源：课本基础知识
1.函数的零点
使的实数叫做函数的零点。例如是函数的一个零点。
注：函数有零点 函数的图象与轴有交点 方程有实根
2.函数零点的判定：
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有。那么，函数在区间内有零点，即存在。
3．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，注意它是数而不是点．
4.基本函数模型：
函数模型
函数解析式
一次函数模型
二次函数模型
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)
对数型函数模型
f(x)＝
2、blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)
幂型函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
5.解函数应用问题的步骤
(1)审题：数学应用问题的文字叙述长，数量关系分散且难以把握，因此，要认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，收集整理数据信息，这是解答数学问题的基础．
(2)建模：在明确了问题的实际背景和收集整理数据信息的基础上进行科学的抽象概括，将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，合理引入自变量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式(也叫目标函数)，将实际问题转化为数学问题，即实际问题数学化，建立数
3、学模型．
(3)解模：利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型或目标函数)予以解答，求得结果．
(4)还原：将求解数学模型所得的结果还原为实际问题的意义，回答数学应用题提出的问题．
以上过程可以用示意图表示为：
模拟函数的过程可以用下面框图表示：
二、题之本：思想方法技巧
1.判断函数在给定区间零点的步骤
(1)确定函数的图象在闭区间上连续；
(2)计算f(a)，f(b)的值并判断f(a)f(b)的符号；
(3)若f(a)f(b)＜0，则有实数解．
除了用上面的零点存在性定理判断外，有时还需结合相应函数的图象来作出判断．
2．确定函数f(x)零点个数(方程f
4、(x)＝0的实根个数)的方法：
(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．
(2) 连续函数在区间上有f(a)f(b)＜0时，函数在(a，b)内至少有一个零点，但不能确定究竟有多少个．要更准确地判断函数在(a，b)内零点的个数，还得结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断．如三次函数的零点个数问题．
(3)若函数f(x)在上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．
(
5、4)对于解析式较复杂的函数的零点，可根据解析式特征，利用函数与方程思想化为f(x)＝g(x)的形式，通过考察两函数图像交点来确定零。
3.“实系数一元二次方程有实数解”转化为“”，你是否注意到必须；若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？例如：对一切恒成立，求a的取值范围，你讨论了a＝2的情况了吗？
4.数模型的选择
解题过程中选用哪种函数模型，要根据题目具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型．一般
来说：如果实际问题的增长特点为直线上升，则选择直线模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数
值增大的速度越来越快(指数爆炸)，则选
6、择指数型函数模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值的
增大速度越来越慢，则选择对数型函数模型；如果实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式表示，
则选择分段函数模型等。另外，常见的出租车计费问题、税收问题、商品销售等问题，通常用分段函数模
型；面积问题、利润问题、产量问题常选择幂型函数模型，特别是二次函数模型；而对于利率、细胞分裂、
物质衰变，则常选择指数型函数模型．
三、题之变：课本典例改编
26.原题（必修1第八十八页例1）求函数的零点的个数.
改编1 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】
7、【解析】易知函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数⇔方程|log0.5x|＝＝x的根的个数⇔函数y1＝|log0.5x|与y2＝x的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点，故选B．
改编2 已知函数,若在区间(2,3)内任意两个实数,不等式恒成立，且在区间（2，3）内有零点，则实数的取值范围为( )
【答案】
改编3函数y＝x－的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】在同一坐标系内分别做出y1＝，y2＝的图象，根据图象可以看出交点的个数为1.故选B.
27.原题（必修1第
8、九十页例2）借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确度0.1）.
改编1 用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
【解析】 ∵f(x)＝x3＋3x－1是R上的连续函数，且f(0)<0，f(0.5)>0，则f(x)在x∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号．
改编2 为了求函数的一个零点，某同学利用计算器得到自变量和函数的部分对应值（精确度0.1）如下表所示
1.25
1.3125
1.375
1.4375
1.5
9、
1.5625
－0.8716
－0.5788
－0.2813
0.2101
0.32843
0.64115
则方程的近似解（精确到0.1）可取为（ ）
A．1.32 B．1.39 C．1.4 D．1.3
【答案】C.
28.原题（必修1第九十五页例1）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？
改编1 某市一家商场的新年最高促销奖设立了三
10、种领奖方式，这三种领奖方式如下：方式一：每天到该商场领取奖品，价值为40元；方式二：第一天领取的奖品的价值为10元，以后每天比前一天多10元；方式三：第一天领取的奖品的价值为0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。若商场的奖品总价值不超过600元，则促销奖的领奖活动最长设置为几天？在领奖活动最长的情况下，你认为哪种领奖方式让领奖者受益更多？
【解析】设促销奖的领奖活动为天，三种方式的领取奖品总价值分别为。
则；；
要使奖品总价值不超过600元，则
解得
又 ，故
答：促销奖的领奖活动最长可设置10天，在这10天内选择方式二会让领奖者受益更多.
改编2 某家庭
11、进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；
(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
29.原题（必修1第一百一十二页复习参考习A组第七题）
改编1 如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．
12、
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求出该函数的定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
改编2 已知线段的长为,以为直径的圆有一内接梯形，若椭圆以为焦点，且经过点，求椭圆的离心率的范围．
【解析】梯形为圆内接梯形，故其为等腰梯形，设，则在中，
由椭圆的定义知
离心率，其中，所以，故椭圆离心率
30.原题（必修1第一百一十三页复习参考习A组第九题）某公司每生产一批产品都能维持一段时间的市场供应，若公司本次新产品生产开始x月后，公司的存货量大致满足模型，那么下次生产应在多长时间后开始？
改编1 某公司每生产一批产品都能维持一段时间的市场供应，
13、在存货量变为0的前一个月，公司进行下次生产。若公司本次新产品生产开始月后，公司的存货量大致满足模型，那么下次生产应在 月后开始．
【答案】两个月.
改编2研究表明：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，2010年、2011年、2012年大气中的CO2浓度分别比2009年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位．若用一个函数模拟每年CO2浓度增加的可比单位数与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数f(x)＝px2＋qx＋r(其中p，q，r为常数)或函数g(x)＝abx＋c(其中a，b，c为常数)，且又知2014年大气中的CO2浓度比2009年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？
【解析】：若以f(x)＝px2＋qx＋r作模拟函数，则依题意得：
解得p＝，q＝，r＝0，所以f(x)＝x2＋x.
若以g(x)＝abx＋c作模拟函数，则
解得a＝，b＝，c＝－3.
所以g(x)＝－3.
利用f(x)，g(x)对2014年的CO2浓度作估算，则其数值分别为：f(5)＝15可比单位，g(5)＝17.25可比单位，
∵|f(5)－16|＜|g(5)－16|，故选f(x)＝x2＋x作为模拟函数较好．
万变不离其宗：高中数学课本典例改编之必修一：专题六 函数的应用 Word版含解析
