高考数学 一轮复习学案训练课件北师大版文科： 第5章 数列 第3节 等比数列及其前n项和学案 文 北师大版

《高考数学 一轮复习学案训练课件北师大版文科： 第5章 数列 第3节 等比数列及其前n项和学案 文 北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 一轮复习学案训练课件北师大版文科： 第5章 数列 第3节 等比数列及其前n项和学案 文 北师大版（6页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 第三节　等比数列及其前n项和 [考纲传真]　1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系． (对应学生用书第72页) [基础知识填充] 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等

2、比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝，那么G叫作a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔G2＝aB． 2．等比数列的通项公式与前n项和公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1. (2)前n项和公式： Sn＝ 3．等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和． (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则有akal＝aman. (2)等比数列{an}的单调性： 当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列； 当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递

3、减数列； 当q＝1时，数列{an}是常数列． (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. (4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn. [知识拓展] 1．“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件． 2．若q≠0，q≠1，则Sn＝k－kqn(k≠0)是数列{an}成等比数列的充要条件，此时k＝. [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“”) (1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列

4、{an}为等比数列．(　　) (2)G为a，b的等比中项⇔G2＝aB．(　　) (3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　) (4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　) [答案]　(1)　(2)　(3)　(4) 2．(20xx广州模拟)已知等比数列{an}的公比为－，则的值是(　　) A．－2　　　　 B．－　　　　 C．　　　　 D．2 A　[＝＝－2.] 3．(20xx东北三省四市一联)等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＝6，a3＝8，则a6＝ (　　) 【导学号：00090

5、168】 A．64 B．128 C．256 D．512 A　[设等比数列的首项为a1，公比为q， 则由 解得或(舍去)， 所以a6＝a1q5＝64，故选A．] 4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________． 27,81　[设该数列的公比为q，由题意知， 243＝9q3，q3＝27，∴q＝3. ∴插入的两个数分别为93＝27,273＝81.] 5．(20xx长春模拟)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝__________. 6　[

6、∵a1＝2，an＋1＝2an， ∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵Sn＝126，∴＝126，解得n＝6.] (对应学生用书第72页) 等比数列的基本运算 　(1)(20xx合肥模拟)已知Sn是各项为正数的等比数列{an}的前n项和，a2a4＝16，S3＝7，则a8＝(　　) A．32　　　　 B．64　　　　 C．128　　　　 D．256 (2)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于__________． (1)C　(2)2n－1　[(1)∵{an}为等比数列，a2a4＝16，∴a3

7、＝4.∵a3＝a1q2＝4，S3＝7，∴S2＝＝3，∴(1－q2)＝3(1－q)，即3q2－4q－4＝0， ∴q＝－或q＝2.∵an>0，∴q＝2， 则a1＝1，∴a8＝27＝128. (2)设等比数列的公比为q，则有 解得或 又{an}为递增数列，∴∴Sn＝＝2n－1.] [规律方法]　1.等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用． 2．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算． [变式训练1]　(1)在等比数列{an}

8、中，a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为 (　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或 (2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3－a6＝0，则＝________. 【导学号：00090169】 (1)C　(2)28　[(1)根据已知条件得 ②①得＝3. 整理得2q2－q－1＝0， 解得q＝1或q＝－. (2)由题可知{an}为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3＝a1q2，a6＝a1q5，所以27a1q2＝a1q5，所以q＝3，由Sn＝，得S6＝，S3＝，所以＝＝28.] 等比数列的判定与证明 　(20xx全国

9、卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)若S5＝，求λ. [解]　(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1， 2分 故λ≠1，a1＝，故a1≠0. 3分 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan， 即an＋1(λ－1)＝λan. 5分 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝. 因此{an}是首项为，公比为的等比数列， 于是an＝n－1. 7分 (2)由(1)得Sn＝1－n. 9分 由S5＝得1－5＝，即5＝. 10分 解得λ＝－1

10、. 12分 [规律方法]　等比数列的判定方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a＝anan＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． 说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的判定． [变式训练2]　已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－ an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n. (1)设cn＝an－1

11、，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式． [解]　(1)证明：∵an＋Sn＝n， ① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1， ② ②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，即2an＋1＝an＋1， ∴2(an＋1－1)＝an－1，即2cn＋1＝cn. 3分 由a1＋S1＝1得a1＝，∴c1＝a1－1＝－， 从而cn≠0，∴＝. ∴数列{cn}是以－为首项，为公比的等比数列. 6分 (2)由(1)知cn＝－n－1＝－n， 7分 又cn＝an－1，∴an＝cn＋1＝1－n， 9分 ∴当n≥2时， bn＝an－an－1＝1－n－＝n.

12、 又b1＝a1＝，适合上式，故bn＝n.12分 等比数列的性质及应用 　(1)(20xx安徽六安一中综合训练)在各项均为正数的等比数列{an}中，若 am＋1am－1＝2am(m≥2)，数列{an}的前n项积为Tn，若T2m－1＝512，则m的值为(　　) A．4　　　 　 B．5　　　 　 C．6　　　 　 D．7 (2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝(　　) 【导学号：00090170】 A．2 B． C． D．3 (1)B　(2)B　[(1)由等比数列的性质可知am＋1am－1＝a＝2am(m≥2)，所以am＝2，即数列{

13、an}为常数列，an＝ 2，所以T2m－1＝22m－1＝512＝29，即2m－1＝9，所以m＝5，故选B． (2)法一：由等比数列的性质及题意，得S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，由已知得S6＝3S3，∴＝，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴＝. 法二：＝1＋＝1＋q3＝3，所以q3＝2. 则＝＝＝.] [规律方法]　1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq”，可以减少运算量，提高解题速度． 2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形．

14、根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． [变式训练3]　(1)(20xx合肥三次质检)在正项等比数列{an}中，a1 008a1 009＝，则lg a1＋lg a2＋…＋lg a2 016＝(　　) A．2 015 B．2 016 C．－2 015 D．－2 016 (2)(20xx湖北六校联考)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an，则Sn＝a－a＋a－a＋…＋a－a等于(　　) A．(2n－1) B．(1－24n) C．(4n－1) D．(1－2n) (1)D　(2)B　[(1)lg a1＋lg a2＋…＋lg a2 016＝lg a1a2…a2 016＝lg(a1 008a1 009)1 008＝lg1 008＝lg1 008＝－2 016，故选D． (2)在数列{an}中，由a1＝1，an＋1＝2an，可得an＝2n－1， 则Sn＝a－a＋a－a＋…＋a－a ＝1－4＋16－64＋…＋42n－2－42n－1 ＝＝(1－42n)＝(1－24n)．]