【走向高考】全国通用高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题24 填空题解题技能训练含解析

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1、【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题24 填空题解题技能训练（含解析） 一、填空题 1．(文)(2014石家庄市质检)如下图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为________． [答案]　9 [解析]　由三视图可知，该几何体是斜四棱柱，四棱柱底面是矩形，长3，宽3，四棱柱的高h＝＝，∴体积V＝33＝9. (理)(2015商丘市二模)已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且∠BAC＝90，AB＝AC＝2，球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为________． [答案]　12π

2、 [解析]　由已知得：BC＝2，球O的半径R＝＝，故其表面积S＝4πR2＝4π()2＝12π. [方法点拨]　直接法 对于计算型试题，多通过直接计算得出结果、解题时，直接从题设条件出发，利用有关性质和结论等，通过巧妙变形，简化计算过程，灵活运用有关运算规律和技巧合理转化、简捷灵活的求解． 用直接法求解填空题，要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果． 2．(文)(2015新课标Ⅰ理，14)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________． [答案]　(x－)2＋y2＝ [解

3、析]　考查椭圆的几何性质；圆的标准方程． ∵圆心在x轴的正半轴上，故设圆心为(a,0)，a>0，则半径为4－a，∵此圆过椭圆的三个顶点A(0,2)，B(0，－2)，C(4,0)，∴(4－a)2＝a2＋22，解得a＝或a＝－(舍去)，故圆的方程为(x－)2＋y2＝. (理)(2014中原名校联考)已知椭圆＋＝1，A、C分别是椭圆的上、下顶点，B是左顶点，F为左焦点，直线AB与FC相交于点D，则∠BDF的余弦值是________． [答案]　 [解析]　由条件知A(0，)，B(－2,0)，C(0，－)，F(－1,0)，直线AB：x－2y＋2＝0，CF：x＋y＋＝0，∴D(－，)，＝(－，－

4、)，＝(，－)，cos∠BDF＝＝. 3．(文)设0，a1a2＋b1b2＝<，a1b2＋a2b1＝<，故最大的是a1b1＋a2b2. (理)已知函数y＝f(x)，对任意的两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)成立，且f(0)≠0，则f(－2014)f(－2013)…f(2013)f(2014

5、)的值是________． [答案]　1 [解析]　f(x)为抽象函数，只知满足条件f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)，且f(0)≠0，故可取满足此条件的特殊函数来求解． 令f(x)＝2x，则对任意的两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)成立，f(0)＝20＝1，f(－2014)f(2014)＝f(0)＝1，f(－2013)f(2013)＝f(0)＝1，…，所以f(－2014)f(－2013)…f(2013)f(2014)＝1. [方法点拨]　特殊值法 当填空题的已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定

6、值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的某个特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论． 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值法，但此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解． 试一试解答下题： 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，过点M的直线与直线AB、AC分别交于不同的两点P、Q，若＝λ，＝μ，则＋＝________. [答案]　2 [解析]　由题意可知，＋的值与点P、Q的位置无关，而当直线BC与直线PQ重合时，有λ＝μ＝1，所以＋＝2. 4．

7、△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高相交于点H，若＝m(＋＋)，则实数m＝________. [答案]　1 [解析]　如图在Rt△ABC中，外接圆圆心O为斜边AB的中点，垂心H即为C点，由已知＝m(＋＋)＝m，则m＝1. 5．(文)(2014大纲理，15)直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线，若l1与l2的交点为(1,3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________． [答案]　 [解析]　设l1、l2与⊙O分别相切于B、C，则∠OAB＝∠OAC，|OA|＝，圆半径为， ∴|AB|＝＝2，∴tan∠OAB＝＝， ∴所夹角的正切值 tan∠CAB＝＝＝. (理

8、)(2014辽宁理，15)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________. [答案]　12 [解析]　如图． 设MN与椭圆的交点为D，由中位线定理． |AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|) 由椭圆的定义知|DF1|＋|DF2|＝2a＝6. ∴|AN|＋|BN|＝12. [方法点拨]　数形结合法 对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、

9、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形． 1．数形结合法适用于给出图形的问题，或容易作出图象的函数问题，或表达式具有明显几何意义的解析几何问题等． 2．应用时要注意：①作图要尽量准确；②抓准图形与变量间的对应关系． 请练习下题： 向量＝(1,0)，＝(＋cosθ，1＋sinθ)，则与夹角的取值范围是________． [答案]　[0，] [解析]　依题意在坐标系中B(1,0)、A(＋cosθ，1＋sinθ)，点A在圆(x－)2＋(y－1)2＝1的圆周上运动，如图，当A点为切点M时，与的夹角取最大值，容易求得为；当A点为切点N时，夹角取

10、最小值0，故取值范围是[0，]． 6．不等式－kx＋1≤0的解集非空，则k的取值范围为________． [答案]　(－∞，－]∪[，＋∞) [解析]　由－kx＋1≤0，得≤kx－1，设f(x)＝，g(x)＝kx－1，显然函数f(x)和g(x)的定义域都为[－2,2]．令y＝，两边平方得x2＋y2＝4，故函数f(x)的图象是以原点O为圆心，2为半径的圆在x轴上及其上方的部分． 而函数g(x)的图象是直线l：y＝kx－1在[－2,2]内的部分，该直线过点C(0，－1)，斜率为k. 如图，作出函数f(x)，g(x)的图象，不等式的解集非空，即直线l和半圆有公共点，可知k的几何意义就是半圆

11、上的点与点C(0，－1)连线的斜率． 由图可知A(－2,0)，B(2,0)，故kAC＝＝－，kBC＝＝. 要使直线和半圆有公共点，则k≥或k≤－. 所以k的取值范围为(－∞，－]∪[，＋∞)． 7．(2015商丘市二模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ac＝b2－a2，A＝，则B＝________. [答案]　 [解析]　由余弦定理得cosA＝＝＝＝，∴a＋c＝b，由正弦定理得：sinA＋sinC＝sinB，又C＝－B，∴sinA＋sin＝sinB，即＋cosB＋sinB＝sinB，即cosB－sinB＝cos＝－，∴B＋＝，B＝. 8．a＝ln－，b＝l

12、n－，c＝ln－，则a、b、c的大小关系为________． [答案]　a>b>c [解析]　令f(x)＝lnx－x，则f ′(x)＝－1＝. 当00，即函数f(x)在(0,1)上是增函数． ∵1>>>>0，∴a>b>c. [方法点拨]　构造法 用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察分析、联想类比的基础之上的．首先应观察已知条件形式上的特点，然后联想、类比已学过的知识及各种数学结论、数学模型，深刻地了解问题及问题的几何背景或代数背景，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的

13、． 构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．常见的构造法有：构造函数(如用导数研究函数的性质中经常要构造函数)、构造方程、构造不等式、构造数列、立体几何中的补形构造等等． 试一试解答下题： 如图，已知球O的球面上有四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________． [答案]　π [解析]　如图，以DA、AB、BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝＝2R，所以R＝，故球

14、O的体积V＝＝π. 9．(文)设(x－3)2＋(y－3)2＝6，则的最大值为________． [答案]　3＋2 [解析]　设＝k，则可转化为直线kx－y＝0与圆(x－3)2＋(y－3)2＝6有公共点时k的取值范围，用代数法(Δ≥0)或几何法(d≤r)解决． (理)已知P(x，y)是椭圆＋＝1上的一个动点，则x＋y的最大值是________． [答案]　5 [解析]　令x＋y＝t，则问题转化为直线x＋y＝t与椭圆有公共点时，t的取值范围问题． 由消去y得，25x2－32tx＋16t2－144＝0， ∴Δ＝(－32t)2－100(16t2－144)＝－576t2＋14400≥

15、0， ∴－5≤t≤5，∴x＋y的最大值为5. 10．(文)已知a、b是正实数，且满足ab＝a＋b＋3，则a＋b的取值范围是________． [答案]　[6，＋∞) [解析]　∵a、b是正实数且ab＝a＋b＋3，故a、b可视为一元二次方程x2－mx＋m＋3＝0的两个根，其中a＋b＝m，ab＝m＋3，要使方程有两个正根，应有 解得m≥6， 即a＋b≥6，故a＋b的取值范围是[6，＋∞)． [点评]　还可以利用基本不等式将ab≤2代入条件式中，视a＋b为变量构造一元二次不等式解答． (理)已知x>0，比较x与ln(1＋x)的大小，结果为________． [答案]　x>ln(1＋

16、x) [解析]　解法一：令x＝1，则有1>ln2， ∴x>ln(1＋x)． 解法二：令f(x)＝x－ln(x＋1)． ∵x>0，f′(x)＝1－＝>0， 又因为函数f(x)在x＝0处连续， ∴f(x)在[0，＋∞)上是增函数． 从而当x>0时， f(x)＝x－ln(1＋x)>f(0)＝0. ∴x>ln(1＋x)． 解法三：在同一坐标系中画出函数y＝x与y＝ln(1＋x)的图象，可见x>0时，x>ln(1＋x)． 11．在三棱锥O－ABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值为________． [答案

17、]　 [解析]　将此三棱锥补成正方体，如图所示．连接CM，过点O作ON⊥CM于N，则ON⊥平面ABC．∴OM与平面ABC所成的角是∠OMC．在Rt△OMC中，tan∠OMC＝＝＝，即OM与平面ABC所成角的正切值为. 12．sin2(α－30)＋sin2(α＋30)－sin2α的值等于________． [答案]　 [解析]　问此式的“值”等于多少？隐含此结果与α无关，于是不妨对α进行特殊化处理．不妨取α＝0，则sin2(α－30)＋sin2(α＋30)－sin2α＝＋－0＝. 13．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于________． [答案]　1 [解析]　依题

18、意，可取一个特殊的等差数列：13,11,9,7,5,3,1，－1，－3，其中a5＝5，a3＝9满足条件．可求得S9＝S5＝45，故＝1. [点评]　1.取特殊等差数列时，可依据＝来取a3＝9，a5＝5. 2．本题也可以直接用等差数列的性质求解：＝＝＝1. 14．(文)函数f(x)＝的零点个数为________个． [答案]　3 [解析]　依题意，在x>0时可以画出y＝lnx与y＝x2－2x的图象，可知两个函数的图象有两个交点，当x≤0时，函数f(x)＝2x＋1与x轴只有一个交点，所以函数f(x)有3个零点． (理)已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为_

19、_______． [答案]　 [解析]　an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＋33＝n2－n＋33. 所以＝＋n－1，设f(x)＝＋x－1(x>0)， 令f ′(x)＝＋1>0，则f(x)在(，＋∞)上是单调递增的，在(0，)上是单调递减的，因为n∈N*，所以当n＝5或6时f(x)有最小值．又因为＝，＝＝， 所以的最小值为＝. [方法点拨]　填空题是高考题中的客观性试题，具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点．因而求解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题，大题的解答思路也可以照搬到填空题上．但由于填空题不用说

20、明理由，不用书写解答过程，跨度大，覆盖面广，形式灵活，突出考查考生准确、严谨、全面灵活地运用所学知识和方法解决问题的能力和计算能力、识图读表能力、逻辑思维能力等．要想又快又准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究一些解题策略．解答填空题要做到：快——运算要快，力戒小题大做；稳——计算、变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不全；活——解题方法灵活，不生搬硬套；细——审题要细，注意细节和特殊情况，不要粗心大意． 15．(文)若锐角α、β、γ满足cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，则tanαtanβtanγ的最小值为________． [答案]　2 [解析]　借助已知条件可构

21、造一个长方体AC1如图所示，使它的三边长度分别为a、b、c，且设相交于同一顶点的三棱与交于此顶点的对角线所成的角分别为α、β、γ则 tanαtanβtanγ＝≥＝2. [点评]　此题通过构造一个适合题设条件的长方体，将一个抽象的三角最值问题，转化为一个较易解决的代数不等式的问题．构造几何体利用几何体的直观数形结合，使问题变得容易解决． (理)空间一条直线l1与一个正四棱柱的各个面所成的角都为α，而另一条直线l2与这个正四棱柱的各条棱所成的角都为β，则sin2α＋sin2β＝________. [答案]　1 [解析]　由正四棱柱的对称性知，若直线l1与各面成角都相等，则该直线一定经过或平行于四棱柱的一条体对角线，l2也一样，于是取对角线BD1研究，则α＝∠BD1B1，β＝∠BD1D， ∴sin2α＋sin2β＝sin2α＋cos2α＝1.