人教版高中数学选修11:3.3 导数在研究函数中的应用 课堂10分钟达标 3.3.3 Word版含解析
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1、(人教版)精品数学教学资料 课堂10分钟达标 1.函数f(x)=x3-3x(|x|<1) ( ) A.有最大值,但无最小值 B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,但有最小值 D.既无最大值,也无最小值 【解析】选D.f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,所以f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,无最大值和最小值. 2.下列说法正确的是 ( ) A.函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值 B.闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值 C.若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若
2、有极值,则一定有最值 D.若函数在给定区间上有最大、小值,则有且仅有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可有多个极值 【解析】选D.由极值与最值的区别知选D. 3.函数y=2x3-3x2-12x+5在[-2,1]上的最大值、最小值分别是 ( ) A.12,-8 B.1,-8 C.12,-15 D.5,-16 【解析】选A.y′=6x2-6x-12,由y′=0⇒x=-1或x=2(舍去).x=-2时y=1,x=-1时y=12,x=1时y=-8.所以ymax=12,ymin=-8. 4.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为 ( )
3、
A.0≤a<1 B.0
4、
又因为f(-1)=1e+1,f(1)=e-1,
所以f(-1)-f(1)=2+1e-e<0,
所以f(-1) 5、(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
【解析】(1)f′(x)=3x2-2ax.
因为f′(1)=3-2a=3,
所以a=0.又当a=0时,f(1)=1,f′(1)=3,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为3x-y-2=0.
(2)令f′(x)=0,解得x1=0,x2=2a3.
当2a3≤0,即a≤0时,f(x)在[0,2]上单调递增,
从而f(x)max=f(2)=8-4a.
当2a3≥2,即a≥3时,f(x)在[0,2]上单调递减,
从而f(x)max=f(0)=0.
当0<2a3<2,即0
6、a3,2上单调递增,
从而f(x)max=8-4a,02.
7.【能力挑战题】已知对任意的实数m,直线x+y+m=0都不与曲线f(x)=x3-3ax(a∈R)相切.
(1)求实数a的取值范围.
(2)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象上是否存在一点P,使得点P到x轴的距离不小于14,试证明你的结论.
【解题指南】(1)通过对函数y=f(x)求导,得导函数的值域,对任意m∈R,直线x+y+m=0都不与y=f(x)相切,
故-1∉[-3a,+∞),从而求得实数a的取值范围.
(2)问题等价于当 7、x∈[-1,1]时,|f(x)|max≥14.构造函数g(x)=|f(x)|,g(x)在x∈[-1,1]上是偶函数,故只要证明当x∈[0,1]时|f(x)|max≥14即可,然后分a≤0和0
8、x)|max≥14,
①当a≤0时,f′(x)≥0,f(x)在[0,1]上单调递增,且f(0)=0,g(x)=f(x),
g(x)max=f(1)=1-3a>1>14;
②当0
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