高中数学人教版A版必修一学案：第一单元 1.2.2 第2课时 分段函数及映射 Word版含答案

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1、（人教版）精品数学教学资料 第2课时　分段函数及映射 学习目标　1.理解分段函数的定义，并能解决简单的分段函数问题(重点).2.了解映射的概念以及它与函数的联系与区别(难点)． 预习教材P21－P22，完成下面问题： 知识点1　分段函数 分段函数的定义： (1)前提：在函数的定义域内； (2)条件：在自变量x的不同取值范围内，有着不同的对应关系； (3)结论：这样的函数称为分段函数． 【预习评价】 已知函数f(x)＝，则f＝________，f＝________. 解析　由题意得f＝2－3＝－2，f＝f(－2)＝2(－2)＋3＝－1. 答案　－2　－1 知识点

2、2　映射 映射的定义： 【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“”) (1)函数是特殊的映射．(　　) (2)在映射的定义中，对于集合B中的任意一个元素在集合A中都有一个元素与之对应．(　　) (3)按照一定的对应关系，从集合A到集合B的映射与从集合B到集合A的映射是同一个映射．(　　) 提示　(1)√　根据映射的定义，当映射中的集合是非空数集时，该映射就是函数，否则不是函数； (2)　映射可以是“多对一”，但不可以是“一对多”； (3)　从集合A到集合B的映射与从集合B到集合A的映射不是同一个映射． 题型一　映射的概念及应用 【例1】　(1)下列对应是集合A到集

3、合B上的映射的是(　　) A．A＝N*，B＝N*，f：x→|x－3| B．A＝N*，B＝{－1,1，－2}，f：x→(－1)x C．A＝Z，B＝Q，f：x→ D．A＝N*，B＝R，f：x→x的平方根 (2)已知映射f：A→B，在f的作用下，A中的元素(x，y)对应到B中的元素(3x－2y＋1,4x＋3y－1)，求： ①A中元素(－1,2)在f作用下与之对应的B中的元素． ②在映射f作用下，B中元素(1,1)对应A中的元素． (1)解析　对于选项A，由于A中的元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值在B中找不到象，所以不是映射；对于选项B，对任意的正整数x，在集合B中有唯一的1

4、或－1与之对应，符合映射的定义；对于选项C,0在f下无意义，所以不是映射；对于选项D，正整数在实数集R中有两个平方根(互为相反数)与之对应，不满足映射的定义，故该对应不是映射． 答案　B (2)解　①由题意可知当x＝－1，y＝2时，3x－2y＋1＝3(－1)－22＋1＝－6， 4x＋3y－1＝4(－1)＋32－1＝1，故A中元素(－1,2)在f的作用下与之对应的B中的元素是(－6,1)． ②设在映射f作用下，B中元素(1,1)对应A中的元素为(x，y)， 则解之得，即A中的元素为. 规律方法　1.判断一个对应是不是映射的两个关键 (1)对于A中的任意一个元素，在B中是否有元素与之

5、对应． (2)B中的对应元素是不是唯一的． 2．求对应元素的两种类型及处理思路(映射f：A→B) (1)若已知A中的元素a，求B中与之对应的元素b，这时只要将元素a代入对应关系f求解即可． (2)若已知B中的元素b，求A中与之对应的元素a，这时构造方程(组)进行求解即可，需注意解得的结果可能有多个． 【训练1】　下列各个对应中，构成映射的是(　　) 解析　对于A，集合M中元素2在集合N中无元素与之对应，对于C，D，均有M中的一个元素与集合N中的两个元素对应，不符合映射的定义，故选B． 答案　B 典例迁移 　题型二　分段函数求值问题 【例2】　已知函数f(x)＝求f(－5

6、)，f(1)，f. 解　由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4， f(1)＝31＋5＝8，f＝f＝f＝3＋5＝. 【迁移1】　(变换所求)例2条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值． 解　当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去； 当－22x，求x的取值范围．

7、解　当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2； 当－22x可化为3x＋5>2x，即x>－5，所以－22x可化为2x－1>2x，则x∈∅. 综上可得，x的取值范围是{x|x<2}． 规律方法　1.求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． 2．由分段函数的函数值求自变量的方法 已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析

8、式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． 【训练2】　函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝________. 解析　当x0≤2时，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6， ∴x0＝－或x0＝(舍去)． 当x0>2时，f(x0)＝2x0＝8，∴x0＝4. 综上，x0＝－或x0＝4. 答案　－或4 题型三　分段函数的图象及应用 【例3】　(1)已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式为________． (2)已知函数f(x)＝1＋(－2

9、． (1)解析　当0≤x≤1时，f(x)＝－1； 当1

10、列出方程或方程组，求出该段内的解析式． (4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围． 2．作分段函数图象的注意点 作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点． 【训练3】　已知f(x)＝ (1)画出f(x)的图象； (2)求f(x)的值域． 解　 (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示． (2)由条件知，函数f(x)的定义域为R. 由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]， 当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．

11、课堂达标 1．已知函数f(x)＝则f(0)＝(　　) A．2　　　 B．　　　 C．1　　 D．0 解析　因为0∈(－∞，2)，所以f(0)＝＝1. 答案　C 2．下列图形是函数y＝x|x|的图象的是(　　) 解析　y＝故选D． 答案　D 3．如图中所示的对应： 其中构成映射的个数为(　　) A．3　　　 B．4 C．5　　 D．6 解析　由映射的定义知①②③是映射． 答案　A 4．设函数f(x)＝，若f(a)＝4，则实数a＝________. 解析　当a≤0时，f(a)＝－a＝4，即a＝－4；当a>0时，f(a)＝a2＝4，a＝2(a＝－2舍去)，故a＝－

12、4或a＝2. 答案　－4或2 5．作出y＝的图象，并求y的值域． 解　y＝　值域为y∈[－7,7]． 图象如右图． 课堂小结 1．对分段函数的理解 (1)分段函数是一个函数而非几个函数． 分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集． (2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况． 2．函数与映射的关系 映射f：A→B，其中A、B是两个“非空集合”，而函数y＝f(x)，x∈A为“非空的实数集”，其值域也是实数集．于是，函数是数集到数集的映射． 由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．