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1、（人教版）精品数学教学资料
课堂10分钟达标
1.方底无盖水箱的容积为256,则最省材料时,它的高为 ( )
A.4 B.6 C.4.5 D.8
【解析】选A.设底面边长为x,高为h,则V(x)=x2h=256,
所以h=256x2,
所以S(x)=x2+4xh=x2+4x256x2=x2+4256x,
所以S′(x)=2x-4256x2.
令S′(x)=0,解得x=8,
所以h=25682=4.
2.某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x260-x2(0
2、 D.20
【解析】选B.V′(x)=60x-32x2=0,x=0或x=40.
x
(0,40)
40
(40,60)
V′(x)
+
0
-
V(x)
单调递增↗
极大值
单调递减↘
可见当x=40时,V(x)达到最大值.
3.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-13x3+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 ( )
A.13万件 B.11万件
C.9万件 D.7万件
【解析】选C.y′=-x2+81,令y′=0,解得x=9或x=-9(舍去),当00;当
3、x>9时,y′<0.所以当x=9时,y取得最大值.
4.甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位:年)的函数关系如图所
示. ( )
现有下列四种说法:
①前四年该产品产量增长速度越来越快;
②前四年该产品产量增长速度越来越慢;
③第四年后该产品停止生产;
④第四年后该产品年产量保持不变.
其中说法正确的有 ( )
A.①④ B.②④ C.①③ D.②③
【解析】选B.增长速度是产量对时间的导数,即图象中切线的斜率.由图象可知,②④是正确的.
5.某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数,y1=17x2;生产总成本y2(万元)也是x的函数,y2
4、=2x3-x2(x>0),为使利润最大,应生产 ( )
A.9千台 B.8千台
C.6千台 D.3千台
【解析】选C.利润y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=18x2-2x3(x>0),求导得y′=36x-6x2,令y′=0,得x=6或x=0(舍去).
6.统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y=1128 000x3-380x+8(0
5、地行驶了100x小时,设耗油量为h(x)升,
依题意得h(x)=1128 000x3-380x+8100x
=11 280x2+800x-154(00,h(x)是增函数,
所以当x=80时,h(x)取得极小值h(80)=11.25(升).
因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值,所以它是最小值.
答:汽车以80千米/时匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少
6、,最少为11.25升.
7.【能力挑战题】新晨投资公司拟投资开发某项新产品,市场评估能获得10～1000万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不低于1万元,同时不超过投资收益的20%.
(1)设奖励方案的函数模型为f(x),试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型f(x)的基本要求.
(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型:
①f(x)=x150+2;②f(x)=4lgx-2.
试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.
【解析】(1)由题意知,公司对奖励方案的函数模型f(x)的基本要求是:
7、
当x∈[10,1000]时,
①f(x)是增函数;②f(x)≥1恒成立;③f(x)≤x5恒成立,
(2)①对于函数模型f(x)=x150+2:
当x∈[10,1000]时,f(x)是增函数,
则f(x)≥1显然恒成立,
而若使函数f(x)=x150+2≤x5在[10,1000]上恒成立,整理即29x≥300恒成立,而(29x)min=290,所以f(x)≤x5不恒成立.
故该函数模型不符合公司要求.
②对于函数模型f(x)=4lgx-2:
当x∈[10,1000]时,f(x)是增函数,
则f(x)min=f(10)=4lg10-2=2>1.
所以f(x)≥1恒成立.
设g(x)=4lgx-2-x5,则g′(x)=4lgex-15.
当x≥10时,g′(x)=4lgex-15≤2lge-15=lge2-15<0,
所以g(x)在[10,1000]上是减函数,
从而g(x)≤g(10)=4lg10-2-2=0.
所以4lgx-2-x5≤0,即4lgx-2≤x5,所以f(x)≤x5恒成立.
故该函数模型符合公司要求.
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