数学人教A版必修4 第一章　三角函数 单元测试2 含解析

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1、（人教版）精品数学教学资料 (时间：100分钟，满分：120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．计算sin(－960)的值为(　　) A．－　　 B. C. D．－ 解析：选C.sin(－960)＝sin(－3603＋120) ＝sin 120＝sin(180－60)＝sin 60＝. 2．角α终边经过点(1，－1)，则cos α＝(　　) A．1 B．－1 C. D．－ 解析：选C.角α终边经过点(1，－1)，所以cos α＝＝，故选C. 3．以下函数为奇函数的是(　　

2、) A．y＝tan(x＋π) B．y＝sin|x| C．y＝cos|x| D．y＝|tan x| 解析：选A.∵y＝tan(x＋π)＝tan x. ∴y＝tan(x＋π)为奇函数． 4．一扇形的圆心角为2，对应的弧长为4，则此扇形的面积为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：选C.因为θ＝2，l＝4，所以R＝＝＝2，则扇形的面积S＝lR＝42＝4. 5．把函数f(x)＝sin 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)的最小正周期为(　　) A．2π B．π C. D. 解析：选A.

3、由题意知g(x)＝sin(2x)＋1＝sin x＋1. 故T＝2π. 6．将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象的对称轴重合，则φ的值可以是(　　) A. B. C. D. 解析：选C.函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g(x)＝sin(2x＋θ－2φ)，若f(x)，g(x)的图象的对称轴重合，则－2φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－(k∈Z)，当k＝－1得φ＝，故选C. 7．设f(n)＝cos(＋)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)

4、等于(　　) A. B．－ C．0 D. 解析：选B.f(n)＝cos(＋)的周期T＝4； 且f(1)＝cos(＋)＝cos ＝－， f(2)＝cos(π＋)＝－， f(3)＝cos(＋)＝， f(4)＝cos(2π＋)＝. ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝－. 8．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[1,3]时，f(x)＝2－|x－2|，则(　　) A．f＞f B．f＜f C．f＜f D．f

5、＜f 解析：选B.x∈[－1,1]时，x＋2∈[1,3]， f(x)＝f(x＋2)＝2－|x|， 所以f(x)在(0,1)上为减函数． 由1＞sin ＞sin ＞0，知f＜f， 0＜cos ＜cos ＜1，所以f＞f， 0＜tan ＜tan ＝1，所以f＞f. 由于f＜f＝f， 所以f＜f.故选B. 9．函数y＝2sin(3x＋φ)(|φ|＜)的一条对称轴为x＝，则φ＝(　　) A. B. C. D．－ 解析：选C.由y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)， 可得3＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则φ＝kπ＋(k∈Z)， 又|φ|＜，∴k＝0，故φ＝. 10

6、．关于f(x)＝3sin(2x＋)有以下命题，其中正确的个数为(　　) ①若f(x1)＝f(x2)＝0，则x1－x2＝kπ(k∈Z)；②f(x)图象与g(x)＝3cos(2x－)图象相同；③f(x)在区间[－，－]上是减函数；④f(x)图象关于点(－，0)对称． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选D.对①，因为f(x)＝3sin(2x＋)，f(x1)＝f(x2)＝0， 所以x1－x2＝(k∈Z)，所以①错误； 对②，因为3cos(2x－)＝3sin[(2x－)＋] ＝3sin(2x＋)，所以②正确； 对③，当x∈[－，－]时，2x＋∈[－，－]，所以f(x)在区间

7、[－，－]上是减函数，③正确； 对④，当x＝－时，2x＋＝0，所以f(－)＝0，所以④正确． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f()的值为________． 解析：f()＝f(－)＝f(2π－)＝f()＝sin ＝. 答案： 12．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 解析：因为点P(tan α，cos α)在第三象限，所以tan α＜0，cos α＜0，则α是第二象限角．

8、 答案：二 13．设a＝sin ，b＝cos ，c＝tan ，则a，b，c的大小关系为________(按由小至大顺序排列) 解析：a＝sin ＝sin(π－)＝sin ，b＝cos ＝sin(－)＝sin ， 因为0＜＜＜，y＝sin x在(0，)上为增函数，所以b＜a；又因为0＜＜＜，y＝tan x在(0，)上为增函数，所以c＝tan ＞tan ＝1，所以b＜a＜c. 答案：b＜a＜c 14．有下列说法： ①函数y＝－cos 2x的最小正周期是π； ②终边在y轴上的角的集合是； ③把函数y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝3sin 2x的图象； ④函

9、数y＝sin(x－)在[0，π]上是减函数． 其中，正确的说法是________． 解析：对于①，y＝－cos 2x的最小正周期T＝＝π，故①对； 对于②，因为k＝0时，α＝0，角α的终边在x轴上，故②错； 对于③，y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度后，得y＝3sin＝3sin 2x，故③对； 对于④，y＝sin(x－)＝－cos x，在[0，π]上为增函数，故④错． 答案：①③ 15．计算－cos tan(－π)＝________. 解析：原式＝－cos(＋2π) tan(－9π－π) ＝＋cos tan ＝＋(－cos )tan ＝＋1＝－. 答案

10、：－ 三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．求函数y＝3－4sin x－4cos2x的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x的值． 解：y＝3－4sin x－4cos2x＝4sin2x－4sin x－1 ＝42－2，令t＝sin x，则－1≤t≤1， ∴y＝42－2(－1≤t≤1)． ∴当t＝，即x＝＋2kπ或x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－2； 当t＝－1，即x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝7. 17．为了得到函数y＝sin(2x＋)＋的图象，只要把函数y＝sin x的图象作怎样的变换？ 解

11、：法一：①把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin(x＋)的图象； ②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(2x＋)的图象； ③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)，得到函数y＝sin(2x＋)的图象； ④把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数y＝sin(2x＋)＋的图象． 综上得到函数y＝sin(2x＋)＋的图象． 法二：将函数y＝sin x依次进行如下变换： ①把函数y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 2x的图象； ②把得到的图象向左平移个单位长度，得到

12、y＝sin(2x＋)的图象； ③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)，得到y＝sin(2x＋)的图象； ④把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数y＝sin(2x＋)＋的图象． 综上得到函数y＝sin(2x＋)＋的图象． 18. 如图为一个缆车示意图，缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面的距离为0.8 m,60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h. (1)求h与θ间的函数关系式； (2)设从OA开始转动，经过t s后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？ 解：(1)以圆

13、心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－，故B点坐标为(4.8cos(θ－)，4.8sin(θ－))． ∴h＝5.6＋4.8sin(θ－)． (2)点A在圆上转动的角速度是，故t s转过的弧度数为. ∴h＝5.6＋4.8sin(t－)，t∈[0，＋∞)． 到达最高点时，h＝10.4 m. 由sin(t－)＝1，得t－＝， ∴t＝30(s)． 19．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|ω|＜π)的一段图象如图所示． (1)求此函数的解析式； (2)求此函数在(－2π，2π)上的递增区间． 解：(1)由图可知，其振幅为A＝2

14、， 由于＝6－(－2)＝8， ∴周期为T＝16， ∴ω＝＝＝，此时解析式为y＝2sin(x＋φ)． ∵点(2，－2)在函数y＝2sin(x＋φ)的图象上， ∴2＋φ＝2kπ－(k∈Z)， ∴φ＝2kπ－(k∈Z)． 又|φ|＜π，∴φ＝－. 故所求函数的解析式为y＝2sin(x－)． (2)由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得16k＋2≤x≤16k＋10(k∈Z)， ∴函数y＝2sin(x－)的递增区间是[16k＋2,16k＋10](k∈Z)． 当k＝－1时，有递增区间[－14，－6]，当k＝0时，有递增区间[2,10]， 与定义区间求交集得此函数在(－2π，2

15、π)上的递增区间为(－2π，－6]和[2,2π)． 20．(2015周口市高一下期末)已知A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，－＜φ＜0)图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P(1，－)，若|f(x1)－f(x2)|＝4时，|x1－x2|的最小值为. (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)的单调递增区间； (3)当x∈[0，]时，不等式mf(x)＋2m≥f(x)恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)因为角φ的终边经过点P(1，－)，所以tan φ＝－，且－＜φ＜0，得φ＝－. 函数f(x)的最大值为2，又|f(x1)－f(x2)|＝4时，|x1－x2|的最小值为，得周期T＝，即＝，所以ω＝3.所以f(x)＝2sin(3x－)． (2)令－＋2kπ≤3x－≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋≤x≤＋，k∈Z. 所以函数f(x)的递增区间为[－＋，＋]，k∈Z. (3)当x∈[0，]时，－≤3x－≤， 得－≤f(x)≤1，所以2＋f(x)＞0， 则mf(x)＋2m≥f(x)恒成立等价于m≥＝1－恒成立． 因为2－≤2＋f(x)≤3，所以1－的最大值为， 所以实数m的取值范围是[，＋∞)．