同步优化探究理数北师大版练习：第三章 第七节　正弦定理和余弦定理 Word版含解析

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1、课时作业 A组——基础对点练 1．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b，A＝2B，则cos B等于(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：因为a＝b，A＝2B，所以由正弦定理可得＝，所以＝，所以cos B＝，故选C. 答案：C 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　) A. B. C．2 D．3 解析：由余弦定理，得4＋b2－22bcos A＝5，整理得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D. 答案：D 3．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别

2、为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝(　　) A．10 B．9 C．8 D．5 解析：化简23cos2A＋cos 2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cos A＝.由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A，代入数据，解方程，得b＝5. 答案：D 4．(2018云南五市联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝，A＝30，B为锐角，那么角A∶B∶C为(　　) A．1∶1∶3 B．1∶2∶3 C．1∶3∶2 D．1∶4∶1 解析：由正弦定理＝，得sin B＝＝.∵B为锐角，∴B＝60

3、，则C＝90，故A∶B∶C＝1∶2∶3，选B. 答案：B 5．已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角的大小为 ． 解析：由sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7知，三角形的三边之比a∶b∶c＝3∶5∶7，最大的角为C.由余弦定理得cos C＝－，∴C＝120. 答案：120 6．在△ABC中，A＝，a＝c，则＝ . 解析：∵a＝c，∴sin A＝sin C，∵A＝， ∴sin A＝，∴sin C＝，又C必为锐角， ∴C＝， B＝，∴b＝c. ∴＝1. 答案：1 7．在△ABC中，

4、内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为 ． 解析：在△ABC中，由cos A＝－可得sin A＝，所以有 解得 答案：8 8．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC. (1)求； (2)若∠BAC＝60，求∠B. 解析：(1)由正弦定理得 ＝，＝. 因为AD平分∠BAC，BD＝2DC， 所以＝＝. (2)因为∠C＝180－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60， 所以sin C＝sin(∠BAC＋∠B)＝cos B＋sin B. 由(1)知2sin B＝sin C，所以t

5、an B＝，即∠B＝30. 9．(2018武汉市模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝. (1)求角A的大小； (2)若D为BC边上一点，且CD＝2DB，b＝3，AD＝，求a. 解析：(1)由已知得(2c－b)cos A＝acos B， 由正弦定理，得(2sin C－sin B)cos A＝sin Acos B， 整理，得2sin Ccos A－sin Bcos A＝sin Acos B， 即2sin Ccos A＝sin(A＋B)＝sin C. 又sin C≠0，所以cos A＝，所以A＝. (2)如图，过点D作DE∥AC交AB于E，又CD＝2DB

6、， ∠BAC＝，所以ED＝AC＝1，∠DEA＝. 由余弦定理可知，AD2＝AE2＋ED2－2AEEDcos，得AE＝4，则AB＝6. 又AC＝3，∠BAC＝，所以在△ABC中，由余弦定理得a＝BC＝3. B组——能力提升练 1．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b， c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝(　　) A. B. C. D. 解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝2b2－2b2cos A，所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，所以sin A＝cos A，即tan A＝1，又0

7、：C 2．(2018合肥质检)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)sin C．若a＝，则b2＋c2的取值范围是(　　) A．(3,6] B．(3,5) C．(5,6] D．[5,6] 解析：由正弦定理可得，(a－b)(a＋b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，cos A＝＝，又A∈(0，)，∴A＝.∵＝＝＝2，∴b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝4[sin2B＋sin2(A＋B)]＝4{＋}＝sin 2B－cos 2B＋4＝2sin(2B－)＋4.∵△ABC是锐角三角形，∴B∈(，)，即2B－

8、∈(，)，∴＜sin(2B－)≤1，∴5＜b2＋c2≤6.故选C. 答案：C 3．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得a＝csin ＝c，则a＝c.在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝c2＋c2－3c2＝c2，则b＝c.由余弦定理，可得cos A＝＝＝－，故选C. 答案：C 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45，cos A＝，则b＝ . 解析：因为cos A＝，所以sin A＝＝＝

9、，所以sin C＝sin[180－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝cos 45＋sin 45＝.由正弦定理＝，得b＝sin 45＝. 答案： 5．已知在△ABC中，B＝2A，∠ACB的平分线CD把三角形分成面积比为4∶3的两部分，则cos A＝ . 解析：在△ADC中，由正弦定理得＝⇒＝，同理，在△BCD中，有＝⇒＝，又sin∠ADC＝sin∠BDC，sin∠ACD＝sin∠BCD，所以有＝⇒AC＝BC，由正弦定理得sin B＝sin A，又B＝2A， 所以sin B＝2sin Acos A，所以cos A＝. 答案： 6．

10、已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1,2cos C＋c＝2b. (1)求A； (2)若b＝，求sin C. 解析：(1)∵a＝1,2cos C＋c＝2b， 由余弦定理得2＋c＝2b，即b2＋c2－1＝bc. ∴cos A＝＝＝. 由于0＜A＜π，∴A＝. (2)由b＝，及b2＋c2－1＝bc，得＋c2－1＝c， 即4c2－2c－3＝0，c＞0. 解得c＝. 由正弦定理得＝， 得sin C＝sin 60＝. 7．(2018郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b， c，且满足cos 2C－cos 2A＝2sinsin. (1)求角A的值； (2)若a＝且b≥a，求2b－c的取值范围． 解析：(1)由已知得2sin2A－2sin2C＝2，化简得sin A＝，故A＝或. (2)由题知，若b≥a，则A＝，又a＝， 所以由正弦定理可得＝＝＝2，得b＝2sin B，c＝2sin C， 故2b－c＝4sin B－2sin C＝4sin B－2sin＝3sin B－cos B＝2sin. 因为b≥a，所以≤B<，≤B－<， 所以2sin∈[，2)．即2b－c的取值范围为[，2)．