精编高中数学北师大版选修23教学案：第一章 5 第二课时 二项式系数的性质 Word版含解析

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1、精编北师大版数学资料 第二课时　二项式系数的性质 二项式系数的性质 n依次取1,2,3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数如图所示： 观察此表，思考下列问题． 问题1：同一行中，系数有什么规律？ 提示：两端都是1，与两端1等距离的项的系数相等， 即C＝C. 问题2：相邻两行，系数有什么规律？ 提示：在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C. “杨辉三角”及其规律 (1)杨辉三角 (2)“杨辉三角”蕴含的规律 ①在同一行中，每行两端都是1. ②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上

2、”两数的和．即二项式系数满足组合数的性质C＝C＋C. ③与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即二项式系数具有对称性．C＝C. 1．二项式系数性质类似于组合数的两个性质： (1)C＝C； (2)C＝C＋C. 2．从表中可以看出(a＋b)n的展开式中二项式系数先增加，后减少，各二项式系数和等于2n，而C＋C＋C＋…＋C＝2n. 与“杨辉三角”有关的问题 [例1]　如图所示，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…记其前n项和为Sn，求S19的值． [思路点拨]　观察数列各项

3、在杨辉三角中的位置，把各项还原为二项展开式系数，利用组合的性质求和． [精解详析]　由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第17项是C，第18项是C，第19项是C. ∴S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C ＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C) ＝＋C＝54＋220＝274. [一点通]　解决与杨辉三角有关问题的一般思路： (1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察； (2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律． 1．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为__

4、______． 解析：观察规律可知：第n行的首尾两个数均为2n－1. 答案：2n－1 2．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3. 解析：由杨辉三角知，第1行中的数是C，C；第2行中的数是C，C，C；第3行中的数是C，C，C，C；…；第n行中的数是C，C，C，…，C.设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3，则C∶C＝2∶3，解之得n＝34. 答案：34 二项展开式中系数的和 [例2]　(10分)设(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013(x∈R)． (1)求a0的

5、值； (2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 013的值； (3)求a1＋a3＋a5＋…＋a20 13的值． [思路点拨]　可在已知的等式中分别取x＝0,1，－1，得各系数和、差的关系，进而求解． [精解详析]　(1)在等式(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013中，令x＝0，得1＝a0. ∴a0＝1. (3分) (2)在等式中，令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 013，∴a1＋a2＋…＋a2 013＝－2. (6分) (3)令x＝－1，x＝1， 得 相减，得－1－32 013＝2(a1＋a3＋…＋a2 013

6、)． (8分) ∴a1＋a3＋…＋a2 013＝－(1＋22 013)． (10分) [一点通]　(1)赋值法是求二项展开式系数和问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况． (2)一般地，二项式展开式f(x)的各项系数的和为f(1)，奇次项系数和为[f(1)－f(－1)]，偶次项系数和为[f(1)＋f(－1)]． 3．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是(　　) A．1　　　　　　　　　 B．－1 C．215 D．315 解析：令x＝1时(－1)15＝－1. 答案：B

7、 4．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|. 解：(1)令x＝0，则a0＝－1. 令x＝1，则a0＋a1＋…＋a7＝27＝128，① ∴a1＋a2＋…＋a7＝129. (2)令x＝－1，则a0－a1＋…＋a6－a7＝(－4)7，② 由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7， ∴a1＋a3＋a5＋a7＝8256. (3)∵Tr＋1＝C(3x)7－r(－1)r， ∴a2k－1>0(k∈N＋)，a2k<0(k∈N＋)． ∴|a0|＋

8、|a1|＋…＋|a7| ＝－a0＋a1－a2＋a3－…－a6＋a7 ＝47＝16 384. 解决与杨辉三角有关的问题的注意事项： (1)通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行之间数据的相互联系．然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解． (2)注意二项式系数性质C＝C，C＝C＋C的应用． 1．(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是(　　) A．－2 048　　　　　　　　 B．－1 023 C．－1 024 D．1 024 解析：令f(x)＝(x－1)11，偶次项系数之和是＝＝－1 024. 答案：C 2．若Cx＋Cx2＋…

9、＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为(　　) A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4 C．x＝5，n＝4 D．x＝6，n＝5 解析：由Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1分别将选项A，B，C，D代入检验知，仅有x＝5，n＝4适合． 答案：C 3．若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　) A．10 B．20 C．30 D．120 解析：由2n＝64，得n＝6，∴Tk＋1＝Cx6－kk ＝Cx6－2k(0≤k≤6，k∈N)． 由6－2k＝0，得k＝3.∴T4＝C＝20. 答案：B 4．在4的展开式中各项系数之和是16.则a的值是(

10、　　) A．2 B．3 C．4 D．－1或3 解析：由题意可得(a－1)4＝16，a－1＝2，解得a＝－1或a＝3. 答案：D 5．若(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为________． 解析：令x＝－1，则原式可化为[(－1)2＋1][2(－1)＋1]9＝－2＝a0＋a1(2－1)＋…＋a11(2－1)11，∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2. 答案：－2 6．若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为__

11、______． 解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a2＋a4＋a1＋a3)(a0＋a2＋a4－a1－a3)＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋)4，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋)4＝(2－)4，于是(2＋)4(2－)4＝1. 答案：1 7．已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项． 解：由题意知C＋C＋C＝121， 即C＋C＋C＝121， ∴1＋n＋＝121，即n2＋n－240＝0， 解得n＝15或－16

12、(舍)． ∴在(1＋3x)15的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项． 且T8＝C(3x)7＝C37x7， T9＝C(3x)8＝C38x8. 8．对二项式(1－x)10， (1)展开式的中间项是第几项？写出这一项． (2)求展开式中各二项式系数之和． (3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和． 解：(1)展开式共11项，中间项为第6项， T6＝C(－x)5＝－252x5. (2)C＋C＋C＋…＋C ＝210＝1 024. (3)设(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10. 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0. 令x＝0，得a0＝1. ∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.