精编高中数学 本册综合测试 北师大版选修22

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1、精编北师大版数学资料 选修2－2综合测试 时间120分钟，满分150分． 一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．计算：＝(　　) A．－1－i　　　　　 B．－1＋i C．1＋i D．1－i [答案]　B [解析]　＝＝＝＝－1＋i. 2．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”，假设应为(　　) A．a，b都能被3整除 B．a，b都不能被3整除 C．a，b不都能被3整除 D．a不能被3整除 [答案]　B [解析]　“至少有一个”的否定为“一个也没

2、有”． 3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝，从n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是(　　) A．(k－1)2＋2k2 B．(k＋1)2＋k2 C．(k＋1)2 D．(k＋1)[2(k＋1)2＋1] [答案]　B [解析]　当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，∴从n＝k到n＝k＋1，左边应添加的式子为(k＋1)2＋k2. 4．已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大

3、致为(　　) [答案]　B [解析]　当x＝1时，y＝<0，排除A；当x＝0时，y不存在，排除D；当x从负方向无限趋近于0时，y趋近于－∞，排除C.故选B. 5．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为(　　) A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29 C．a1a2…a9＝29 D．a1＋a2＋…＋a9＝29 [答案]　D [解析]　由等差数列的性质知，a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5，故D成立． 6．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1－e－x，则质点从x

4、1＝0，沿x轴运动到x2＝1处，力F(x)所做的功是(　　) A．e　　　 B．　　　　 C．2e　　　 D． [答案]　B [解析]　由W＝(1－e－x)dx＝1dx－e－xdx＝x|＋e－x|＝1＋－1＝. 7．已知复数(x－2)＋yi(x，y∈R)对应向量的模为，则的最大值是(　　) A． B． C. D． [答案]　C [解析]　由|(x－2)＋yi|＝，得(x－2)2＋y2＝3， 此方程表示如图所示的圆C， 则的最大值为切线OP的斜率． 由|CP|＝，|OC|＝2，得∠COP＝， ∴切线OP的斜率为，故选C. 8．设函数f(x)在R上可导，其导函数

5、为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图像可能是(　　) [答案]　C [解析]　本题考查导数的应用，函数的图象． 由f(x)在x＝－2处取极小值知f′(－2)＝0且在－2的左侧f′(x)<0，而－2的右侧f′(x)>0，所以C项合适． 函数、导数、不等式结合命题，对学生应用函数能力提出了较高要求． 9.观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形，第n个图中有________个小正方形(　　) A．28， B．14， C．28， D．12， [答案]　A [解析]　 根据规律知第6个图形

6、中有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 第n个图形中有1＋2＋…＋(n＋1)＝. 10.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是(　　) A．f(x)＝sinx＋cosx B．f(x)＝lnx－2x C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝－xe－x [答案]　D [解析]　若f(x)＝sinx＋cosx，则f″(x)＝－sinx－cosx， 在x∈(0，)上，恒有

7、f″(x)<0； 若f(x)＝lnx－2x，则f″(x)＝－，在x∈(0，)上，恒有f″(x)<0； 若f(x)＝－x3＋2x－1，则f″(x)＝－6x，在x∈(0，)上，恒有f″(x)<0； 若f(x)＝－xe－x，则f″(x)＝2e－x－xe－x＝(2－x)e－x. 在x∈(0，)上，恒有f″(x)>0，故选D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11．(2014北京理，9)复数()2＝________. [答案]　－1 [解析]　复数＝＝＝i， 故()2＝i2＝－1. 12．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1能被14整除时，当n＝k＋1时，对于3

8、4(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为________． [答案]　3434k＋1＋5252k＋1 [解析]　n＝k时，34k＋1＋52k＋1能被14整除，因此，我们需要将n＝k＋1时的式子构造为能利用n＝k的假设的形式.34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝3434k＋1＋5252k＋1＋3452k＋1－3452k＋1＝34(34k＋1＋52k＋1)＋(52－34)52k＋1，便可得证． 13．在△ABC中，D是BC的中点，则＝(＋)，将命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：___________________________________________________

9、_________ ________________________________________________________________________. [答案]　在四面体A－BCD中，G为△BCD的重心，则＝(＋＋) 14．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3ax＋1在区间(－∞，＋∞)内既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是________________． [答案]　(－∞，0)∪(9，＋∞) [解析]　由题意得y′＝3x2－2ax＋3a＝0有两个不同的实根，故Δ＝(－2a)2－433a>0， 解得a<0或a>9. 15.如图为函数f(x)的图像，f′(x

10、)为函数f(x)的导函数，则不等式xf′(x)<0的解集为________． [答案]　(－3，－1)∪(0,1) [解析]　xf′(x)<0⇔或 ∵(－3，－1)是f(x)的递增区间， ∴f′(x)>0的解集为(－3，－1)． ∵(0,1)是f(x)的递减区间， ∴f′(x)<0的解集为(0,1)． 故不等式的解集为(－3，－1)∪(0,1)． 三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．(2015山东青岛)已知复数z1＝i(1－i)3. (1)求|z1|. (2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值． [解析]　(1)

11、|z1|＝|i(1－i)3|＝|i||i－1|3＝2. (2)如图所示，由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,0)的圆．而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2)，所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆的半径)＝2＋1. 17．设函数f(x)＝kx3－3x2＋1(k≥0)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)的极小值大于0，求k的取值范围． [解析]　(1)当k＝0时，f(x)＝－3x2＋1， ∴f(x)的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0

12、，＋∞)． 当k>0时，f′(x)＝3kx2－6x＝3kx(x－)． ∴f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(，＋∞)， 单调减区间为(0，)． (2)当k＝0时，函数f(x)不存在极小值． 当k>0时，由(1)知f(x)的极小值为 f()＝－＋1>0，即k2>4， 又k>0，∴k的取值范围为(2，＋∞)． 18.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin213＋cos217－sin13cos17； ②sin215＋cos215－sin15cos15； ③sin218＋cos212－sin18cos12； ④sin2(－18)＋cos24

13、8－sin(－18)cos48； ⑤sin2(－25)＋cos255－sin(－25)cos55. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解析]　解法一： (1)选择(2)式，计算如下： sin215＋cos215－sin15cos15 ＝1－sin30 ＝1－＝. (2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30－α)－sinαcos(30－α)＝. 证明如下： sin2α＋cos2(30－α)－sinαcos(30－α) ＝sin2α＋(cos30cosα＋sin30sinα)2

14、－sinα(cos30cosα＋sin30sinα) ＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α ＝sin2α＋cos2α＝. 解法二： (1)同解法一． (2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30－α)－sinαcos(30－α)＝. 证明如下： sin2α＋cos2(30－α)－sinαcos(30－α) ＝＋－sinα(cos30cosα＋sin30sinα) ＝－cos2α＋＋(cos60cos2α＋sin60sin2α)－sinαcosα－sin2α ＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α

15、) ＝1－cos2α－＋cos2α＝. 19.设a>0且a≠1，函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋alnx. (1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率； (2)求函数f(x)的极值点． [解析]　(1)由已知得x>0. 当a＝2时，f′(x)＝x－3＋，f′(3)＝， 所以曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率为. (2)f′(x)＝x－(a＋1)＋ ＝＝. 由f′(x)＝0，得x＝1或x＝A． ①当00，函数f(x)单调递增； 当x∈(a,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；

16、 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增． 此时x＝a时f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点． ②当a>1时， 当x∈(0,1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增； 当x∈(1，a)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增． 此时x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点． 综上，当01时，x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点． 20.(2014广东理)设数列{an}的前n项

17、和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15. (1)求a1，a2，a3的值； (2)求数列{an}的通项公式． [解析]　(1)a1＝S1＝2a2－312－41＝2a2－7① a1＋a2＝S2＝4a3－322－42＝4(S3－a1－a2)－20＝4(15－a1－a2)－20， ∴a1＋a2＝8② 联立①②解得，∴a3＝S3－a1－a2＝15－8＝7， 综上a1＝3，a2＝5，a3＝7. (2)由(1)猜想an＝2n＋1，以下用数学归纳法证明： ①由(1)知，当n＝1时，a1＝3＝21＋1，猜想成立； ②假设当n＝k时，猜想成立，即ak＝2k＋1，

18、 则当n＝k＋1时，ak＋1＝ak＋ ＝(2k＋1)＋3＋ ＝＋3＋ ＝2k＋3＝2(k＋1)＋1 这就是说n＝k＋1时，猜想也成立，从而对一切n∈N*，an＝2n＋1. 21.如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B及CD的中点P处，已知AB＝20 km，CB＝10 km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上(含边界)，且与A，B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为y km. (1)设∠BAO＝θrad，将y表示成θ的函数关系式； (2)确定污水处理厂的位置，使三条排污管道的总长度最小． [解析]　(1)延长PO交AB于点Q，则PQ垂直平分AB.若∠BAO＝θrad，则OA＝＝，故OB＝. 又OP＝10－10tanθ，所以y＝OA＋OB＋OP＝＋＋10－10tanθ. 故所求函数关系式为y＝＋10(0≤θ≤)． (2)y′＝ ＝. 令y′＝0，得sin θ＝. 因为0≤θ≤，所以θ＝. 当θ∈[0，)时，y′<0，则y是关于θ的减函数；当θ∈(，]时，y′>0，则y是关于θ的增函数， 所以当θ＝时，ymin＝＋10＝(10＋10)． 故当点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边km处时，三条排污管道的总长度最小．