精编高中数学北师大版选修44同步配套教学案：第二章 167;1 参数方程的概念

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1、精编北师大版数学资料 章末复习课 [对应学生用书P18] [对应学生用书P19] 在平面直角坐标系内求曲线(轨迹)方程 由于在平面直角坐标系求曲线(轨迹)方程是解析几何非常重要的一类问题，在高考中常以解答题中关键的一问的形式出现，一般与平面解析几何、向量、函数等知识交汇命题． 常用的方法有： (1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直接求解． (2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程． (3)代入法：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)

2、又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，y1，x1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即为所求． (4)参数法：动点P(x，y)的横纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程． [例1]　如图，圆O1和圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)使得|PM|＝|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程． [解]如图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O1(－2,0)，O2(2,0)． 设P(x，y)， 则|PM|2＝|PO

3、1|2－|MO1|2＝(x＋2)2＋y2－1. 同理，|PN|2＝(x－2)2＋y2－1. ∵|PM|＝|PN|，即|PM|2＝2|PN|2. 即(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]． 即x2－12x＋y2＋3＝0. 即动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33. 求曲线的极坐标方程 在极坐标系中求曲线的极坐标方程是高考考查极坐标系的一个重要考向，重点考查轨迹极坐标方程的探求及直线和圆的极坐标方程的确定与应用问题．求曲线的极坐标的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐标ρ，θ的关系式f(ρ，θ)表

4、示出来，就得到曲线的极坐标方程． [例2]　已知Rt△ABO的直角顶点A在直线ρcos θ＝9上移动(O为原点)，又∠AOB＝30，求顶点B的轨迹的极坐标方程． [解]　如图①，设B(ρ，θ)，A(ρ1，θ1)． 则ρcos 30＝ρ1，即ρ1＝ρ. 又∵ρ1cos θ1＝9，而θ1＝θ－30， ∴ρcos 30cos＝9，即ρcos＝6. ①　　　　　　　　② 若点B的位置如图②所示，同理得点B的轨迹方程为 ρcos＝6. 综上所述，点B的轨迹方程为ρcos＝6. [例3]　已知定点A(a,0)，动点P对极点O和点A的张角∠OPA＝.在OP的延长线上取点Q，使|PQ|

5、＝|PA|.当P在极轴上方运动时，求点Q的轨迹的极坐标方程． [解]　设Q，P的坐标分别是(ρ，θ)，(ρ1，θ1)，则θ＝θ1. 在△POA中，ρ1＝sin， |PA|＝，又|OQ|＝|OP|＋|PA|， ∴ρ＝2acos. 极坐标与直角坐标的互化 极坐标与直角坐标的互化主要考查点的极坐标与直角坐标的互化以及曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，将不熟悉的极坐标(方程)问题转化为熟知的问题求解．解决此类问题，要熟知：互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度． 互化公式为 直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρco

6、s θ，y＝ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性． [例4]　把下列极坐标方程化为直角坐标方程． (1)ρ＝2acos θ(a＞0)； (2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)； (3)ρ＝4； (4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5. [解]　(1)ρ＝2acos θ，两边同时乘以ρ， 得ρ2＝2aρcos θ， 即x2＋y2＝2ax. 整理得x2＋y2－2ax＝0，即(x－a)2＋y2＝a2， 是以(a,0)为圆心，以a为半

7、径的圆． (2)两边同时乘以ρ得ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)， 即x2＋y2＝9x＋9y， 又可化为2＋2＝， 是以为圆心，以为半径的圆． (3)将ρ＝4两边平方得ρ2＝16，即x2＋y2＝16， 是以原点为圆心，以4为半径的圆． (4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即2x－3y＝5，是一条直线． [例5]　将下列极坐标方程化为直角坐标方程． (1)θ＝；(2)ρ2＝ρ；(3)2cos θ＝7sin θ. [解]　(1)∵tan θ＝，∴＝tan＝－. ∴y＋x＝0. (2)∵ρ2＝ρ，∴ρ＝0或ρ＝1. ∴x2＋y2＝0或x2＋y2＝1. (3)两边

8、同乘以ρ得：2ρcos θ＝7ρsin θ. ∴2x－7y＝0. [例6]　若两圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ和ρ＝2sin θ，求两圆的公共弦长． [解]　法一：将两圆方程化为直角坐标方程为： x2＋y2－2x＝0和x2＋y2－2y＝0. 由得y＝x， 即为公共弦所在直线方程． 由得交点坐标为(0,0)，(1,1)． ∴弦长为＝. 法二：设除极点外的公共点坐标为P(ρ，cos θ)(ρ＞0)． 则2cos θ＝2sin θ， ∴tan θ＝1. 由于0≤θ≤，∴θ＝. ∴ρ＝2cos＝. ∴公共弦长为. 　　 一、选择题 1．在极坐标系中，已知两点A，

9、B，则A，B两点间的距离是(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：选D　设极点为O，∵∠AOB＝－＝π， ∴A，O，B三点共线． ∴A，B两点间的距离|AB|＝|OA|＋|OB|＝3＋1＝4. 2．在极坐标系中，与点关于极点对称的点的一个坐标是(　　) A. B. C. D. 解析：选A　点(ρ，θ)关于极点对称的点为(ρ，π＋θ)， 故关于极点对称的点的一个坐标为，即. 3．在极坐标系中，已知一个圆的方程为ρ＝12sin，则过圆心与极轴垂直的直线的极坐标方程是(　　) A．ρsin θ＝3 B．ρsin θ＝－3 C．ρ

10、cos θ＝－3 D．ρcos θ＝3 解析：选C　圆ρ＝12sin(θ－)化为x2＋y2＋6x－6y＝0，其圆心为(－3,3)，∴所求直线方程为x＝－3化为极坐标方程：ρcos θ＝－3. 4．直线θ＝α和直线ρsin(θ－α)＝1的位置关系是(　　) A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．重合 解析：选B　直线θ＝α化为直角坐标方程为y＝xtanα，ρsin(θ－α)＝1化为ρsin θcos α－ρcos θsin α＝1，即y＝xtanα＋. 所以两直线平行． 二、填空题 5．已知一条直线的极坐标方程为ρsin＝，则极点到该直线的距离是________．

11、 解析：∵ρsin＝ρsin θcos ＋ρcos θsin ＝ρsin θ＋ρcos θ＝， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，即x＋y＝1. 则极点到该直线的距离d＝＝. 答案： 6．(上海高考)在极坐标系中，曲线ρ＝cos θ＋1与ρcos θ＝1的公共点到极点的距离为________． 解析：联立得ρ(ρ－1)＝1⇒ρ＝，又ρ≥0，故两曲线的公共点到极点的距离为. 答案： 7．极坐标方程5ρ2cos 2θ＋ρ2－24＝0表示的曲线焦点的极坐标为____________________． 解析：极坐标方程5ρ2cos 2θ＋ρ2－24＝0化为 5ρ2(cos2θ－si

12、n2θ)＋ρ2－24＝0， 即3x2－2y2＝12. 得标准方程为－＝1. 所以a2＝4，b2＝6，c＝. 所以两焦点的极坐标为(，0)，(，π)． 答案：(，0)，(，π) 8．如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角α＝.若将l的极坐标方程写成ρ＝f(θ)的形式，则f(θ)＝________. 解析：在直线l上任取点P(ρ，θ)，在△OPM中，由正弦定理得＝，即＝，化简得ρ＝，故f(θ)＝. 答案： 三、解答题 9．在极坐标系中P是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos上的动点，试求PQ的最大值． 解：以极点O为原点，极轴为x轴建立

13、直角坐标系xOy，将方程ρ＝12sin θ化为直角坐标方程为x2＋y2＝12y，它表示圆心为(0,6)，半径为6的圆． 将ρ＝12cos化为直角坐标方程为 (x－3)2＋(y－3)2＝36，它表示以(3，3)为圆心，6为半径的圆． 由圆的位置关系可知，当P，Q所在直线为连心线所在直线时，PQ长度可取最大值，且最大值为 ＋6＋6＝18. 10．已知A(－1,0)，B(1,4)，在平面上动点P满足＝4，点Q是点P关于直线l：y＝2(x－4)的对称点，求动点Q的轨迹方程． 解：法一：设P(x，y)， 则＝(－1－x，－y)，＝(1－x,4－y)， 故由＝4⇒ (－x－1)(1－x)

14、＋(－y)(4－y)＝4， 即x2＋(y－2)2＝32. ∴P的轨迹是以C(0,2)为圆心，以3为半径的圆． ∵点Q是点P关于直线y＝2(x－4)的对称点， ∴动点Q的轨迹是一个以C0(x0，y0)为圆心，半径为3的圆，其中C0(x0，y0)是点C(0,2)关于直线y＝2(x－4)的对称点，即直线y＝2(x－4)与CC0垂直，且过CC0的中点，于是有 即⇒ 故动点Q的轨迹方程为(x－8)2＋(y＋2)2＝9. 法二：设P(x，y)， 则＝(－1－x，－y)，＝(1－x,4－y)， 故由＝4⇒(－x－1)(1－x)＋(－y)(4－y)＝4，即x2＋(y－2)2＝32(*)．

15、设点Q的坐标为Q(u，v)， ∵Q，P关于直线l：y＝2(x－4)对称， ∴PQ与直线l垂直，于是有＝－　　①. ∵PQ的中点在l上，∴有＝2(－4)　　②. 由①②可解得 代入方程(*)得 (－3u＋4v＋32)2＋(4u＋3v－26)2＝(35)2， 化简得u2＋v2－16u＋4v＋59＝0 ⇒(u－8)2＋(v＋2)2＝9. 故动点Q的轨迹方程为(x－8)2＋(y＋2)2＝9. [对应学生用书P41] (时间：90分钟，满分：120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的) 1．在极坐标中有如下三个结论：

16、①点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程；②tan θ＝1与θ＝(ρ≥0)表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．在这三个结论中正确的是(　　) A．①③　　　　　　　　　 B．① C．②③ D．③ 解析：选D　在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定适合方程，故①是错误的；tan θ＝1不仅表示θ＝这条射线，还表示θ＝这条射线，故②亦不对；ρ＝3与ρ＝－3差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为3的圆，故③正确． 2．原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，则点(－5，－5)的极坐标是(　　) A.

17、B. C. D. 解析：选B　设点(－5，－5)的极坐标为(ρ，θ)，则tan θ＝＝，x<0，∴最小正角θ＝，ρ＝＝10. 3．已知点P的柱坐标为，则它的直角坐标为(　　) A．(，1,1) B．(1,1,1) C．(，，1) D．(1,0,1) 解析：选B　设点P的直角坐标为(x，y，z)． 则有x＝rcos θ＝cos ＝1， y＝rsin θ＝sin ＝1，z＝1. ∴点P的直角坐标为(1,1,1)． 4．ρ＝2cos θ－2sin θ表示的曲线是(　　) A．直线 B．圆 C．射线 D．半圆 解析：选B　两边同乘以ρ得：ρ2＝2ρcos

18、θ－2ρsin θ. 把ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入得： x2＋y2－2x＋2y＝0，表示圆． 5．曲线ρ2＋2ρ(3cos θ－2sin θ)＝0的对称中心的直角坐标是(　　) A．(3,2) B．(2,3) C．(－3,2) D．(－3，－2) 解析：选C　原方程可化为：x2＋y2＋6x－4y＝0. 即：(x＋3)2＋(y－2)2＝13. ∴它的对称中心为(－3,2)． 6．设点P的直角坐标为(4,4,4)，则它的球坐标为(　　) A. B. C. D. 解析：选A　设点P的球坐标为(r，φ，θ)， 则r＝＝8，tan

19、θ＝＝＝1. 又∵x>0，∴θ＝. ∵4＝8cos φ，∴cos φ＝. ∵0≤φ≤π，∴φ＝. ∴点P的球坐标为. 7．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为(　　) A．ρsin θ＝2 B．ρcos θ＝2 C．ρcos θ＝4 D．ρcos θ＝－4 解析：选B　如图，⊙C的极坐标方程为ρ＝4sin θ，CO⊥Ox，OA为直径，|OA|＝4，ρsin θ＝2表示直线y＝2，ρcos θ＝4表示直线x＝4，ρcos θ＝－4表示直线x＝－4，均不与圆相切，只有B符合． 8．在极坐标系中，圆ρ＝4cos θ＋4sin θ的圆心坐标是(　　)

20、A. B. C. D. 解析：选A　将原方程化成直角坐标方程，得(x－2)2＋(y－2)2＝8，圆心坐标为(2,2)，化成极坐标为. 9．在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距离为d，则d的最大值为(　　) A．5 B．6 C．4 D．3 解析：选C　极坐标方程ρ＝3转化成直角坐标方程为x2＋y2＝9，所以圆心为(0,0)，半径为3，ρ(cos θ＋sin θ)＝2转化成直角坐标方程为x＋y＝2.则圆心到直线x＋y＝2的距离d′＝＝＝1. ∴圆上的点到直线的最大距离为d′＋3＝1＋3＝4. 10．在极坐标系中，过点A(6，π)作

21、圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为(　　) A．2 B．6 C．2 D．2 解析：选C　圆ρ＝－4cos θ化为(x＋2)2＋y2＝4，点(6，π)化为(－6,0)，所以切线长＝＝＝2. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ，则曲线C1与C2交点的极坐标为________． 解析：由 得4cos2θ＝3. ∴2(1＋cos 2θ)＝3，cos 2θ＝. 又0≤2θ<π，∴θ＝.故ρ＝2， ∴曲线C1与C2的交点的极坐标为. 答案： 12．若曲线的

22、极坐标方程为ρ＝tan θ，则该曲线的直角坐标方程为________． 解析：由ρ＝tan θ＝，得ρcos2θ＝sin θ， ∴ρ2cos2θ＝ρsin θ，化为直角坐标方程为x2＝y. 答案：x2＝y 13．在极坐标系中，点到直线ρsin＝1的距离是________． 解析：点化为直角坐标为(，1)，直线方程可化为ρsin θ－ρcos θ＝1，即x－y＋2＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝1. 答案：1 14．在极坐标系中，曲线C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________. 解析：曲线C1的直角坐标方程为x＋

23、y＝1，曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝a2，C1与x轴的交点坐标为，此点也在曲线C2上，代入解得a＝. 答案： 三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)(广东高考改编)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2的交点的直角坐标． 解析：由ρsin2θ＝cos θ⇒ρ2sin2θ＝ρcos θ⇒y2＝x， 又由ρsin θ＝1⇒y＝1，联立⇒ 故曲线C1和C2交点的直角坐标为(1,1)．

24、 16．(本小题满分12分)极坐标方程ρ＝－cos θ与ρcos＝1表示的两个图形的位置关系是什么？ 解：ρ＝－cos θ可变为ρ2＝－ρcos θ， 化为普通方程为x2＋y2＝－2x， 即(x＋1)2＋y2＝1，它表示圆，圆心为(－1,0)，半径为1. 将ρcos＝1化为普通方程为x－y－2＝0. ∵圆心(－1,0)到直线的距离为＝＞1， ∴直线与圆相离． 17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设椭圆的长轴长为10，中心为(3,0)，一个焦点在直角坐标原点． (1)求椭圆的直角坐标方程，并化为极坐标方程； (2)当椭圆过

25、直角坐标原点的弦长为时，求弦所在直线的直角坐标方程． 解：(1)由已知，得a＝5，c＝3，故b＝＝4， 所以椭圆的直角坐标方程为＋＝1. 由于x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，代入上式，得 ＋＝1， 即25ρ2＝(16＋3ρcos θ)2，即5ρ＝16＋3ρcos θ. 所以椭圆的极坐标方程为ρ＝. (2)设过直角坐标原点的弦的倾斜角为θ，弦的两端点分别为P1(ρ1，θ)，P2(ρ2，θ＋π)，则有ρ1＝， ρ2＝. 由于ρ1＋ρ2＝，所以＋＝，则 ＝⇔cos2θ＝⇔cos θ＝ ⇔θ＝或θ＝. 所以所求直线的直角坐标方程为y＝x或y＝－x. 18.(本小题满分14

26、分)如图所示，点P为直线x＋y＝1上的动点，O为原点，求正方形OPQR的顶点R，Q轨迹的极坐标方程，并化成直角坐标方程． 解：以Ox为极轴建立极坐标系，则直线x＋y＝1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝1. 设点P(ρ0，θ0)，Q(ρ1，θ1)，R(ρ2，θ2)， 由题意① ② 由①得 ∵ρ0(cos θ0＋sin θ0)＝1， ∴点Q的轨迹方程为 ρ1＝1， 化简得ρ1sin θ1＝1或ρ1cos θ1＝1. 化为直角坐标方程为y＝1或x＝1. 由②得 代入ρ0(cos θ0＋sin θ0)＝1得 ρ2＝1， 化简得点R的轨迹方程为 ρ2(sin θ2－cos θ2)＝1或ρ2(cos θ2－sin θ2)＝1. 化为直角坐标方程为：x－y＋1＝0或x－y－1＝0.