高中数学北师大版选修23教学案：第二章 5 第一课时 离散型随机变量的均值 Word版含解析

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1、2019年北师大版精品数学资料 第一课时　离散型随机变量的均值 求离散型随机变量的均值 [例1]　(重庆高考)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下： 奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 3红1蓝 200元 二等奖 3红0蓝 50元 三等奖 2红1蓝 10元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级． (1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率； (2)求

2、摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与数学期望EX. [思路点拨]　(1)利用古典概型结合计数原理直接求解． (2)先确定离散型随机变量的取值，求出相应的概率分布，进一步求出随机变量的期望值． [精解详析]　设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai(i＝0,1,2,3)与Bj(j＝0,1)独立． (1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝＝. (2)X的所有可能值为0,10,50,200，且 P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝＝， P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝＝， P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝

3、＝＝， P(X＝0)＝1－－－＝. 综上知，X的分布列为 X 0 10 50 200 P 从而有EX＝0＋10＋50＋200＝4(元)． [一点通]　求离散型随机变量X的均值的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值； (2)求X取每个值的概率； (3)写出X的分布列(有时可以省略)； (4)利用定义公式EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，求出均值． 1．(广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的数学期望EX＝(　　) A.　　　　　　　　　　 B．2 C. D．3 解析：

4、EX＝1＋2＋3＝＝. 答案：A 2．某高等学院自愿献血的20位同学的血型分布情形如下表： 血型 A B AB O 人数 8 7 3 2 (1)现从这20人中随机选出两人，求两人血型相同的概率； (2)现有A血型的病人需要输血，从血型为A、O的同学中随机选出2人准备献血，记选出A血型的人数为X，求随机变量X的数学期望EX. 解：(1)从20人中选出两人的方法数为C＝190， 选出两人同血型的方法数为C＋C＋C＋C＝53， 故两人血型相同的概率是. (2)X的取值为0,1,2， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. X的分布列为

5、 X 0 1 2 P ∴EX＝0＋1＋2＝＝. 二项分布及超几何分布的均值 [例2]　甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为X，乙击中目标的次数为Y，求 (1)X的概率分布； (2)X和Y的数学期望． [思路点拨]　甲、乙击中目标的次数均服从二项分布． [精解详析]　(1)P(X＝0)＝C3＝， P(X＝1)＝C3＝， P(X＝2)＝C3＝， P(X＝3)＝C3＝. 所以X的概率分布如下表： X 0 1 2 3 P (2)由题意X～B，Y～B， ∴EX＝3＝

6、1.5，EY＝3＝2. [一点通]　如果随机变量X服从二项分布即X～B(n，p)，则EX＝np；如果随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，则EX＝n，以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程． 3．若随机变量X～B，EX＝2，则P(X＝1)等于________． 解析：由X～B∴EX＝n＝2， ∴n＝4，∴P(X＝1)＝C13＝. 答案： 4．袋中有7个球，其中有4个红球，3个黑球，从袋中任取3个球，以X表示取出的红球数，则EX为________． 解析：由题意知随机变量X服从N＝7，M＝4，n＝3的超几何分布，则EX＝3＝. 答案： 5

7、．(浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和． (1)求X的分布列； (2)求X的数学期望EX. 解：(1)由题意得X取3,4,5,6，且 P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝. 所以X的分布列为 X 3 4 5 6 P (2)由(1)知EX＝3P(X＝3)＋4P(X＝4)＋5P(X＝5)＋6P(X＝6)＝. 数学期望的实际应用 [例3]　某商场准备在“五一”期间举行

8、促销活动．根据市场行情，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动． (1)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率； (2)商场对选出的家电商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品成本价的基础上提高180元作为售价销售给顾客，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金．假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是，且每次获奖时的奖金数额相同，请问：该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为多少元，此促销方案才能使商场自己不亏本？ [思路点拨]　(1)利用间接法求概率；(2)先求中奖的期望，再列不等式求解． [精解详析]　(1)设选出的3种商

9、品中至少有一种是日用商品为事件A，则P(A)＝1－＝. 即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为. (4分) (2)设顾客抽奖的中奖次数为X，则X＝0,1,2,3，于是 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝C2＝， P(X＝2)＝C2＝， P(X＝3)＝＝， ∴顾客中奖的数学期望 EX＝0＋1＋2＋3＝1.5. (10分) 设商场将每次中奖的奖金数额定为x元，则1.5x≤180，解得x≤120， 即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使自己不亏本． (12分) [一点通]　处理与实际问题有关的均值问题，应首先把实际问题概率模型

10、化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并写出分布列，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值． 6．(湖南高考)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率； (2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望． 解：记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}． 由题设知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝. 且事件E与F，E与，与

11、F，与都相互独立． (1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则＝ ，于是 P()＝P()P()＝＝， 故所求的概率为P(H)＝1－P()＝1－＝. (2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0,100,120,220. 因P(X＝0)＝P( )＝＝， P(X＝100)＝P(F)＝＝， P(X＝120)＝P(E)＝＝， P(X＝220)＝P(EF)＝＝. 故所求的X分布列为 X 0 100 120 220 P 数学期望为E(X)＝0＋100＋120＋220＝＝＝140. 7．某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一

12、旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应的预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采取、联合采取或不采取，请确定预防方案使总费用最少．(总费用＝采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值．) 解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望值为 E1＝4000.3＝120(万元)； ②若单独采取预防措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9＝0.1， 损失期望值为E2＝4000.1＝40(万元)， 所以总费用为45＋40＝

13、85(万元)； ③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元， 发生突发事件的概率为1－0.85＝0.15， 损失期望值为E3＝4000.15＝60(万元)， 所以总费用为30＋60＝90(万元)； ④若联合采取甲、乙两种预防措施， 则预防措施费用为45＋30＝75(万元)， 发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)＝0.015， 损失期望值为E4＝4000.015＝6(万元)， 所以总费用为75＋6＝81(万元)． 综合①②③④，比较其总费用可知，选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少． 1．求随机变量的数学期望的方法步骤： (1)写出随机变

14、量所有可能的取值． (2)计算随机变量取每一个值对应的概率． (3)写出分布列，求出数学期望． 2．离散型随机变量均值的性质 ①Ec＝c(c为常数)； ②E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b为常数)； ③E(aX1＋bX2)＝aEX1＋bEX2(a，b为常数)． 1．一名射手每次射击中靶的概率均为0.8，则他独立射击3次中靶次数X的均值为(　　) A．0.8　　　　　　　　　 B．0.83 C．3 D．2.4 解析：射手独立射击3次中靶次数X服从二项分布，即X～B(3,0.8)，∴EX＝30.8＝2.4. 答案：D 2．已知离散型随机变量X的概率分布

15、如下： X 0 1 2 P 0.3 3k 4k 随机变量Y＝2X＋1，则Y的数学期望为(　　) A．1.1 B．3.2 C．11k D．33k＋1 解析：由题意知，0.3＋3k＋4k＝1， ∴k＝0.1.EX＝00.3＋10.3＋20.4＝1.1， ∴EY＝E(2X＋1)＝2EX＋1＝2.2＋1＝3.2. 答案：B 3．口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，以X表示取出的球的最大号码，则EX＝(　　) A．4 B．5 C．4.5 D．4.75 解析：X的取值为5,4,3. P(X＝5)＝＝， P(X＝4)＝＝， P(

16、X＝3)＝＝. ∴EX＝5＋4＋3＝4.5. 答案：C 4．(湖北高考)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值EX＝(　　) A. B. C. D. 解析：由题意知X可能为0,1,2,3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝，EX＝0P(X＝0)＋1P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝0＋1＋2＋3＝＝，故选B. 答案：B 5．设10件产品有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的均值为________． 解析：设查

17、得次品数为X，由题意知X服从超几何分布且N＝10，M＝3，n＝2. ∴EX＝n＝2＝. 答案： 6．某射手射击所得环数X的分布列如下 X 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知EX＝8.9，则y的值为________． 解析：由 解得y＝0.4. 答案：0.4 7．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A，B两个等级．对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品． 表一 工序 概率 产品 第一道工序 第二道工序 甲

18、0.8 0.85 乙 0.75 0.8 表二 等级 利润 产品 一等 二等 甲 5(万元) 2.5(万元) 乙 2.5(万元) 1.5(万元) (1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙； (2)已知一件产品的利润如表二所示，用X，Y分别表示一件甲、乙产品的利润，在(1)的条件下，分别求甲、乙两种产品利润的分布列及均值． 解：(1)P甲＝0.80.85＝0.68， P乙＝0.750.8＝0.6. (2)随机变量X，Y的分布列是 X 5 2.5 P 0.68

19、0.32 Y 2.5 1.5 P 0.6 0.4 　 EX＝50.68＋2.50.32＝4.2， EY＝2.50.6＋1.50.4＝2.1. 所以甲、乙两种产品利润的均值分别为4.2万元、2.1万元． 8．(山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果互相独立． (1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率； (2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X的分布列及

20、数学期望． 解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3， 由题意知，各局比赛结果相互独立， 故P(A1)＝3＝， P(A2)＝C2＝， P(A3)＝C22＝. 所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为，以3∶2胜利的概率为. (2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4， 由题意知，各局比赛结果相互独立， 所以P(A4)＝C22＝. 由题意知，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性得 P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝， 又P(X＝1)＝P(A3)＝， P(X＝2)＝P(A4)＝， P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以EX＝0＋1＋2＋3＝.