精编高中数学北师大版必修四教学案：第二章 167;2 第2课时 向量的减法 Word版含答案

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1、精编北师大版数学资料 第2课时　向量的减法 [核心必知] 1．相反向量 (1)定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量．记作：－a． (2)相反向量的性质 ①－00，－(－a)＝a； ②a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； ③如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0． 2．向量的减法 定义 向量a加上b的相反向量，叫作向量a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算，叫作向量的减法. 作法 如果把向量a与b的起点放在O点，那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量就是a－b. 图示 [问题思考] 1

2、．向量减法的实质是什么？ 提示：向量减法的实质是加法的逆运算，即a－b＝a＋(－b)． 2．如何运用三角形法则进行向量的减法运算？ 提示：如已知向量a，b，求a－b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，连接AB，则＝a－b. 讲一讲 1．已知向量a，b，c求作向量a＋b－c. [尝试解答]　 法一：在平面内任取一点O，作＝a，＝b， 连接OB，则＝a＋b. 再作＝c，连接BC，则＝－＝a＋b－c 即为所求(如图) 法二：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，以OA，OB为邻边，作▱OACB，连接OC，则＝a＋b. 再作＝c，连接CD. 则＝－＝a

3、＋b－c即为所求(如图)． 法三：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，连接OB，则＝a＋b.再作＝－c，连接OC. 则＝＋＝a＋b－c即为所求(如图)． 1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝就可以把减法化为加法．在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接两向量终点，箭头指向被减向量”即可． 2．以向量＝a、＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住． 3．三角形法则和平行四边形法则对于向量的减法同样适用． 练一练 1．如图，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，

4、＝b，＝c，试作向量a－b＋c. 讲一讲 2．化简下列各式： 1．计算向量的加减法时应谨记以下口诀： (1)加法口诀：首尾相接，箭头从始点指向最后一个终点． (2)减法口诀：始点相同连接终点，箭头指向被减向量． 2．多个向量作加减运算时，应把首尾相连的放在一起计算，起点相同的放在一起计算．必要时，可画出图形，结合图形观察，将使问题更为直观． 练一练 讲一讲 3．已知▱ABCD中，∠ABC＝60，设＝a，＝b，若|a|＝|a＋b|＝2，求|a－b|的值． [尝试解答]　 依题意， ||＝|a＋b|＝2， 而||

5、＝|a|＝2， ∵∠ABC＝60，∴△ABC是等边三角形．∴BC＝AB. ▱ABCD为菱形，AC⊥BD， ∴|a|2＝(|a＋b|)2＋(|a－b|)2 即4＝1＋，∴|a－b|＝2. 本题的解答是利用了向量加法与减法的几何意义，一般地，若a，b是两个不共线的向量，在平面内任取一点A作＝a，＝b，以AB、AD为邻边作▱ABCD，那么＝a＋b，＝a－b.恰当地构造平行四边形，寻找|a|，|b|，|ab|的关系，灵活运用平面图形的性质是解答本题的关键． 练一练 3．已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且 |a－b|＝4，求|a＋b|的值． 解：

6、所以△OAB是以∠AOB为直角的直角三角形， 从而OA⊥OB， 所以▱OACB是矩形． 根据矩形的对角线相等有＝4， 即|a＋b|＝4. 如图，四边形ABCD为平行四边形，. 试用a，b，c表示向量. [错解]　∵ ＝c＋b－a. [错因]　错误地使用了向量的减法法则，误认为，在应用三角形法则作向量减法时，应注意“连接两向量终点，箭头指向被减向量”． ＝a－b＋c. 1．在四边形ABCD中，设等于(　　) A．a－b＋c　　B．a＋b＋c C．b－(a＋c) D．b－a＋c 解析：选A　 ＝－b＋a＋c. 4．已知|a|＝1，

7、|b|＝2，|a＋b|＝，则|a－b|＝________． 解析：∵()2＝12＋22. ∴以a，b为邻边的平行四边形为矩形， 那么|a－b|＝|a＋b|＝. 答案： 5．给出下列运算： ∴①，②正确，③不正确． 答案： ①② 6．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 解：法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝b，则＝a＋b， 再作＝c，则＝a＋b－c. 法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 一、选择题 A．①②　　　　　　　　B．②③ C．③④

8、 D．①④ 3．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则(　　) 4．a与b是非零向量，下列结论正确的是(　　) A．|a|＋|b|＝|a＋b| B．|a|－|b|＝|a－b| C．|a|＋|b|>|a＋b| D．|a|＋|b|≥|a＋b| 解析：选D　 当a，b共线时，若a，b同向，则|a＋b|＝|a|＋|b|，a，b反向时， |a＋b|<|a|＋|b|； 当a，b不共线时，如图有： |a＋b|<|a|＋|b|. 故|a|＋|b|≥|a＋b|. 二、填空题 5．若菱形ABCD的边长为2，则＝________.

9、答案：2 6．若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：①＋其中所有正确的式子的序号是________． 答案：②③ 7．在▱ABCD中，＝b，|a|＝|b|＝2，∠BAD＝120，则|a－b|＝________. 解析： 如图，依题意▱ABCD是菱形，∴∠DAO＝60，∴DO＝ADsin 60＝2＝， 故|a－b|＝||＝2DO＝2. 答案：2 8. 如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝c，试用a，b，c表示＝________. ＝a－b＋c. 答案：a－b＋c 三、解答题 9．如图，在正五边形ABCDE中，若＝c，＝e，求作向量a－c

10、＋b－d－e. 解： a－c＋b－d－e＝(a＋b)－(c＋d＋e) . 如图，连接AC，并延长至点F， 使CF＝AC，则. 所以，即为所求作的向量a－c＋b－d－e. 10. 如图，▱ABCD中，＝b， (1)用a、b表示； (2)当a、b满足什么条件时，a＋b与a－b的所在直线互相垂直？ (3)当a、b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|. (4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？ 解：(1)＝a－b. (2)由(1)知a＋b＝，a－b＝. a＋b与a－b的所在直线垂直，即AC⊥BD. 又∵ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD为菱形，即a、b应满足|a|＝|b|. (3)|a＋b|＝|a－b|，即||＝||. ∵矩形的对角线相等． ∴当a与b的所在直线垂直时， 满足|a＋b|＝|a－b|. (4)不可能，因为▱ABCD的两对角线不可能平行，因此a＋b与a－b不可能为共线向量，也就不可能为相等向量．