新教材高中数学 2.3第2课时空间向量运算的坐标表示练习 北师大版选修21

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1、（新教材）北师大版精品数学资料 第二章　2.3　第2课时空间向量运算的坐标表示 一、选择题 1．设P(－5,1，－2)，A(4,2，－1)，若＝，则点B应为(　　) A．(－1,3，－3)　　 B．(9,1,1) C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1) [答案]　A [解析]　∵＝＝－， ∴＝＋＝(－1,3，－3)．故选A． 2．设A(3,3,1)、B(1,0,5)、C(0,1,0)，则AB的中点M到C点的距离为(　　) A． B． C． D． [答案]　C [解析]　由题意得AB的中点M(2，，3)，则 |MC|＝＝. 3．已知a＝(1，－5,6)，

2、b＝(0,6,5)，则a与b(　　) A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 [答案]　A [解析]　0＋(－5)6＋65＝0，故a⊥B． 4．已知A(2,1,3)、B(－4,2，x)、C(1，－x,2)，若向量＋与垂直(O为坐标原点)，则x等于(　　) A．－4 B．－3 C．3 D．4 [答案]　D [解析]　＋＝(2,1,3)＋(－4,2，x)＝(－2,3，x＋3) ∵(＋)⊥， ∴－2－3x＋2x＋6＝0，解得x＝4. 5．已知A(3，－2,4)，B(0,5，－1)，若＝，则C的坐标是(　　) A．(2，－，) B．(－2，，－) C．

3、(2，－，－) D．(－2，－，) [答案]　B [解析]　∵＝(－3,7，－5)， ∴＝(－3,7，－5)＝. 故选B． 6．已知向量a＝(2，－1,2)，则与a平行且满足关系式ax＝－18的向量x为(　　) A．(－4,2，－4) B．(－4,1，－4) C．(4,2，－4) D．(－4，－2，－4) [答案]　A [解析]　向量x与a平行，则x＝λa，ax＝λa2＝－18，解得λ＝－2，所以x＝－2a＝(－4,2，－4)． 二、填空题 7．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|＝________________. [

4、答案]　3 [解析]　a－b＋2c＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋2(3,1,0)＝(9,3,0)，所以|a－b＋2c|＝＝3. 8．下列各组向量中共面的为________________．(填序号) ①a＝(1,2,3)，b＝(3,0,2)，c＝(4,2,5) ②a＝(1,2，－1)，b＝(0,2，－4)，c＝(0，－1,2) ③a＝(1,1,0)，b＝(1,0,1)，c＝(0,1，－1) ④a＝(1,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1) [答案]　①③ [解析]　不妨设基底为{i，j，k}． ①设a＝xb＋yc，则可得 i＋2j＋3k＝(3x＋4y)i

5、＋2yj＋(2x＋5y)k， ∴，∴ 这表明存在实数x＝－1，y＝1，使a＝xb＋yc， ∴a、b、c共面． 同理可知③中a、b、c共面，其余不共面． 三、解答题 9．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝. (1)设a与b的夹角为θ，求cosθ； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值． [解析]　a＝＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， b＝＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)． (1)cosθ＝＝＝－. (2)ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，

6、 ka－2b＝(k，k,0)－(－2,0,4)＝(k＋2，k，－4)， ∴(k－1，k,2)(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0， 即2k2＋k－10＝0，∴k＝－或k＝2. 10．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)． (1)求以、为边的平行四边形的面积． (2)若|a|＝，且a分别与、垂直，求向量A． [解析]　 (1)＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)， cosθ＝＝＝， ∴sinθ＝. ∴S▱＝||||sinθ＝7. ∴以、为边的平行四边形面积为7. (2)设a＝(x，y，z)，由题意，得 解得或. ∴

7、a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)． 一、选择题 1．已知空间四点A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，D(x，－1,3)共面，则x的值为(　　) A．4　　　　　　　　　 B．1 C．10 D．11 [答案]　D [解析]　＝(－2,2，－2)，＝(－1,6，－8)，＝(x－4，－2,0)， ∵A、B、C、D共面，∴、、共面， ∴存在λ、μ，使＝λ＋μ， 即(x－4，－2,0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)， ∴∴ 2．若向量a＝(1－t,1－t，t－1)，b＝(2，t－2，t＋1)，则|b－a|的最小值是(　　) A． B

8、．3 C． D．5 [答案]　B [解析]　∵b－a＝(2，t－2，t＋1)－(1－t,1－t，t－1)＝(1＋t,2t－3,2)， ∴|b－a|＝ ＝＝， 当t＝1时，|b－a|有最小值3.故选B． 3．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 [答案]　C [解析]　＝(5,1，－7)，＝(2，－3,1)． 因为＝25－31－71＝0， 所以AC⊥BC．所以∠ACB＝90. 又因为||＝5，||＝， 即||≠||， 所以△ABC为直角三角形

9、． 4．已知两点的坐标为A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosβ，2sinβ，1)，则||的取值范围是(　　) A．[0,5] B．[1,5] C．(1,5) D．[1,25] [答案]　B [解析]　＝(2cosβ－3cosα，2sinβ－3sinα，0)，则|| ＝ ＝. 由于cos(α－β)∈[－1,1]，所以|∈[1,5]． 二、填空题 5．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)满足条件(c－a)(2b)＝－2，则x＝______________. [答案]　2　 [解析]　c－a＝(1,1,1)－(1,1，x)＝(0,0,1－

10、x)． ∴(c－a)(2b)＝(0,0,1－x)(2,4,2)＝2－2x＝－2. ∴x＝2. 6．已知向量a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,0,2)，则： (1)a(b＋c)＝________________； (2)(a＋2b)(a－2b)＝________________. [答案]　9　－38 [解析]　(1)b＋c＝(2,0,5)，a(b＋c) ＝(2，－3,1)(2,0,5)＝9. (2)|a|＝，|b|＝，(a＋2b)(a－2b) ＝|a|2－4|b|2＝－38. 三、解答题 7．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)．

11、 (1)若∥，∥，求点D的坐标； (2)问是否存在实数α、β，使得＝α＋β成立？若存在，求出α、β的值；若不存在，说明理由． [解析]　(1)设D(x，y，z)，则＝(－x,1－y，－z)，＝(－1,0,2)，＝(－x，－y,2－z)，＝(－1,1,0)． 因为∥，∥， 所以 解得 即D(－1,1,2)． (2)依题意＝(－1,1,0)，＝(－1,0,2)，＝(0，－1,2)， 假设存在实数α、β，使得＝α＋β成立，则有(－1,0,2)＝α(－1,1,0)＋β(0，－1,2)＝(－α，α－β，2β)， 所以故存在α＝β＝1，使得＝α＋β成立． 8．已知空间三点A(1,2,3)，B(2，－1,5)，C(3,2，－5)． (1)求△ABC的面积． (2)求△ABC中AB边上的高． [解析]　由已知，得＝(1，－3,2)，＝(2,0，－8)， ∴||＝＝， ||＝＝2， ＝12＋(－3)0＋2(－8)＝－14， ∴cos〈，〉＝ ＝＝， ∴sin〈，〉＝＝. ∴S△ABC＝||||sin〈，〉 ＝2＝3. (2)设AB边上的高为CD． 则||＝＝3， 即△ABC中AB边上的高为3.