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【成才之路】高中数学 第1章 4简单计数问题课时作业 北师大版选修2-3
一、选择题
1．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一道作答，选甲答对得100分，答错得－100分；选乙答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是( )
A．48种 B．36种
C．24种 D．18种
[答案] B
[解析] 本题是考查排列组合及相关分类的问题．
①设4人中两人答甲题，两人答乙题，且各题有1人答错，则有A＝24(种)．
②设4人都答甲题或都答乙题，且两人答对，两人答错
2、，则有2CC＝12(种)．
∴4位同学得总分为0分的不同情况有
24＋12＝36(种)．故选B.
2．将5个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )
A．15种 B．20种
C．25种 D．32种
[答案] C
[解析] 就编号为1的盒子中所放的球的个数分类：第一类，当编号为1的盒子中放入一个球时，相应的放法数有C种；第二类，当编号为1的盒中放入2个球时，相应的放法数有C＝10种；第三类，当编号为1的盒子中放入3个球时，相应的放法数有C＝10种．根据分类加法计数原理可知，满足题意的放法种数是5＋1
3、0＋10＝25.
3．(2014秦安县西川中学高二期中)某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同英文字母可以相同的牌照号码共有( )
A．(C)2A个 B．AA个
C．(C)2104个 D．A104个
[答案] A
[解析] ∵前两位英文字母可以重复，∴有(C)2种排法，又∵后四位数字互不相同，∴有A种排法，由分步乘法计数原理知，共有不同牌照号码(C)2A个．
4．甲、乙、丙、丁四名同学在一次联欢会上合唱一首歌曲，他们商议：前四句歌词每人唱一句，其中甲和乙唱相邻的两句且甲不能唱第一句，第五句歌词由两人合唱，第六句歌词由另外两人合唱，歌曲的余下部分由
4、四人合唱，则四人唱完这首歌曲的不同唱法的种数是( )
A．24 B．36
C．48 D．60
[答案] D
[解析] 由题意，对甲的前4句唱哪句进行分类：①甲唱第2句：CA；②甲唱第3句：CA；③甲唱第4句：CA；共有CA＋CA＋CA＝10种唱法．然后第5句有C种唱法，第6句有C种唱法，故共有10CC＝60种唱法．
5．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位．现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是( )
A．234 B．346
C．350 D．363
[答案] B
[解析] ∵前排中间3个座位不能坐，
∴实际可
5、坐的位置前排8个，后排12个．
(1)两人一个前排，一个后排，排法数为CCA；
(2)两人均在后排，共A种，需排除两个相邻的情况：AA，即A－AA；
(3)两人均在前排，又分两类：①两人一左一右，为CCA，②两人同左或同右时，有2(A－AA)种．
综上，不同排法的种数为CCA＋(A－AA)＋CCA＋2(A－AA)＝346.
二、填空题
6．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)
[答案] 90种
[解析] 本题考查了排列组合中的平均分组分配问题，先分组，再把三组分配乘以A得：A＝90种．
6、
7．将数字1、2、3、4、5、6排成一列，记第i个数为ai(i＝1,2，…，6)．若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1
7、条直线中，异面直线共有________对(用数字作答)．
[解析] 方法一：第一步：从6条侧棱中任取一条，有C种方法．
第二步：从与该侧棱不相交的4条底边中任取一条，有C种方法．
根据乘法原理，异面直线有CC＝24种．
方法二：从12条直线中任取2条组成C对直线，求其中异面直线的对数，只需从中减去2条直线共面的情况．
2条直线共面的情况有三类：
第一类：任取2条侧棱所在的直线，显然是共面的，有C种取法．
第二类：任取1条侧棱所在的直线，再取与它有交点的底边所在直线，有62种取法．
第三类：任取2条底边所在的直线，显然是共面的，有C种取法．
所以异面直线共有C－C－62－C＝2
8、4对．
三、解答题
9．男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1人，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男3名，女2名；
(2)队长至少有1人参加；
(3)至少有1名女运动员；
(4)既要有队长，又要有女运动员．
[分析] 此题中选的5人与顺序无关，是组合问题．
[解析] (1)CC＝120种不同的选派方法．
(2)分为两类：仅1名队长参加和两人都参加：
共CC＋C＝196种不同的选派方法．
(3)全部选法中排除无女运动员的情况：
共C－C＝246种不同的选法．
(4)分三类：①仅女队长：C；
②仅男队长：C－C；
③两名队长：C；
9、∴共C＋C－C＋C＝191种不同的选派方法．
[反思总结] 本题涉及所取元素“至少”问题，一般有两种考虑方法：直接法：“至少”中包含分类，间接法就是从总数中去掉“至少”之外的情况，“至多”也可这样考虑．
10.某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A，他有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌，但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？
[解析] 出牌的方法可分为以下几类：
(1)5张牌全部开出，有A种方法；
(2)2张2一起出，3张A一起出，有A种方法；
(3)2张2一起出，3张A分开出，有A种方法；
(4)2张2一起出，3张A分两次出，有CA种方法；
(
10、5)2张2分开出，3张A一起出，有A种方法；
(6)2张2分开出，3张A分两次出，有CA种方法．
因此共有不同的出牌方法A＋A＋A＋CA＋A＋CA＝860种．
[反思总结] 全面细致地分类是解决本题的关键．若按出牌次数分类，方法数为A＋(1＋C)A＋(1＋C)A＋A＝860种．
一、选择题
1．某旅游团组织的旅游路线有省内和省外两种，且省内路线有4条，省外路线有5条，则参加该旅游团的游客的旅游方案有( )
A．4种 B．5种
C．9种 D．20种
[答案] C
[解析] 游客的旅游方案分为两类：第一类：选省内路线，有4种方法．第二类：选省外路线，有5种方法．由加法
11、原理可知，游客的旅游方案有4＋5＝9种．
2．(2014重庆理，9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A．72 B．120
C．144 D．168
[答案] B
[解析] 分两类：(1)先排歌舞类有A ＝6种排法，再将其余的三个节目插空，如图所示▼▽▼▽▼▽，或者▽▼▽▼▽▼，此时有2AA ＝72；(2)先排歌舞类有A＝6种排法，其余的两个小品与歌舞排法如图▼▽△▼▽▼，或者▼▽▼▽△▼，有4AC ＝48.所以共有72＋48＝120种不同的排法．解决不相邻的排列问题，一般是运用插空法，解决本题容易忽略
12、了第二类，导致出差．
3．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )
A．232 B．252
C．472 D．484
[答案] C
[解析] 本题考查了利用组合知识来解决实际问题．
C－4C－CC＝－16－72＝560－88＝472.
另解：CC－3C＋CC＝－12＋4＝220＋264－12＝472.
解题时要注意直接求解与反面求解相结合，做到不漏不重
4.如图A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有( )
A
13、．8种 B．12种
C．16种 D．20种
[答案] C
[解析] 如图，构造三棱锥A－BCD；四个顶点表示四个小岛，六条棱表示连接任意两岛的桥梁．由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法．这可由间接法完成：从六条棱中任取三条棱的不同取法有C种，任取三条共面棱的不同取法有4种，所以从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法有C－4＝16种．故不同的建桥方案共有16种．
[反思总结] 此例通过构造几何图形使组合问题借助于几何图形展现出来也蕴函着转化思想．
二、填空题
5．有4张分别标有数字1、2、3、4的红色卡片和4张分别标有数字1、2、3、4的蓝色卡片，从这8张卡片中
14、取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________种(用数字作答)．
[答案] 432
[解析] 因为10＝1＋2＋3＋4＝2＋2＋3＋3＝1＋1＋4＋4，即数字之和为10的情况有4,4,1,1；4,3,2,1；3,3,2,2，共三种．
若为1,2,3,4，先选出标有数字的卡片，有2222种可能，然后再排列它们，每一种可能有A种排法，根据乘法原理，满足题意的排法有2222A＝384种；
若为2,2,3,3，先选出标有数字的卡片，方法是唯一的，再排列它们有A种排法；
若为1,4,1,4也有A种排法．
所以共有384＋A＋A＝432种不同的排
15、法．
6．今有2个红球、3个黄球、4个白球，若同色球不加以区分，将这9个球排成一列共有________种不同的方法(用数字作答)．
[答案] 1260
[解析] 方法一：只需找到不同颜色的球所在的位置即可，共有CCC＝1260种方法．
方法二：同色球不加以区分(即属相同元素排列的消序问题)，先全排列，再消去各自的顺序即可，则将这9个球排成一列共有＝1260种不同的方法．
三、解答题
7．有四个不同的数字1、4、5、x(x≠0)组成没有重复数字的所有的四位数的各位数字之和为288，求x的值．
[解析] 因为1、4、5、x四个数字不同，排成的四位数中1在千位上、百位上、十位上、个位上
16、分别有A个，所有的1的和共为4A＝24.
同理，排成的四位数中4在千位上、百位上、十位上、个位上分别有A个，所以，所有的4的和共为44A＝96.
所有的5的和共为54A＝120.
所有的x的和为x4A＝24x.
即24x＋120＋96＋24＝288，解得：x＝2.
8.“抗震救灾，众志成城”在舟曲的救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴灾区救灾，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
[解析] (1)分步：首先从
17、4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，
所以共有CC＝90种抽调方法．
(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，
方法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：
①选2名外科专家，
共有CC种选法；
②选3名外科专家，共有CC种选法；
③选4名外科专家，共有CC种选法；
根据分类加法计数原理，共有
CC＋CC＋CC＝185种抽调方法．
方法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有CC种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有：
C－CC－C＝185种抽调方法．
(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．
①没有外科专家参加，有C种选法；
②有1名外科专家参加，有CC种选法；
③有2名外科专家参加，有CC种选法．
所以共有C＋CC＋CC＝115种抽调方法．
新教材高中数学 第1章 4简单计数问题课时作业 北师大版选修23
