新版高中数学 2.1.2椭圆的简单几何性质练习 北师大版选修11

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1、 新版数学北师大版精品资料 【成才之路】高中数学 2.1.2椭圆的简单几何性质练习 北师大版选修1-1 一、选择题 1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长，短轴长，离心率依次为(　　) A．5,3，　　　　　 B．10,6， C．5,3， D．10,6， [答案]　B [解析]　椭圆25x2＋9y2＝225化为标准方程为＋＝1，∴a2＝25，b2＝9， ∴长轴长2a＝10，短轴长2b＝6， 离心率e＝＝，故选B. 2．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率为(　　) A. B． C. D． [答案]　D [解析]　由题意得a＝2c，∴离心率

2、e＝＝. 3．椭圆2x2＋3y2＝6的焦距是(　　) A．2 B．2(－) C．2 D．2(＋) [答案]　A [解析]　椭圆方程可化为＋＝1， ∴c2＝a2－b2＝1.∴c＝1. ∴焦距2c＝2. 4．若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值是(　　) A．3 B．3或 C. D．或 [答案]　B [解析]　若5>m，e＝＝，m＝3. 若m>5，e＝＝，m＝. 5．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 [答案]　A [解析]　由2a＝18得a＝9， 又a－

3、c＝2c， ∴c＝3.∴b2＝a2－c2＝81－9＝72. 故椭圆的方程为＋＝1. 6．椭圆＋＝1与＋＝1(0b>0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且＝－1，则椭圆E的方程为________． [答案]　＋＝1 [解析]　由已知，点C、D的坐标分别为(0，－b)，(

4、0，b)． 又P点的坐标为(0,1)，且＝－1， 于是解得a＝2，b＝， 所以椭圆E方程为＋＝1. 8．若椭圆两焦点F1(－4,0)，F2(4,0)，P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积是12，则椭圆方程为________． [答案]　＋＝1 [解析]　∵焦点为(－4,0)，∴c＝4，且焦点在x轴上又最大面积为bc＝12，∴b＝3，∴a2＝16＋9＝25， ∴椭圆方程为＋＝1. 三、解答题 9．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)短轴长为6，两个焦点间的距离为8； (2)两个顶点分别是(－7,0)，(7,0)，椭圆过点A(1,1)； (3)两焦点间的距离为8，两个顶

5、点分别是(－6,0)，(6,0)． [答案]　(1)＋＝1或＋＝1　(2)＋＝1　(3)＋＝1或＋＝1 [解析]　(1)由题意得b＝3，c＝4， ∴a2＝b2＋c2＝9＋16＝25 ∵焦点位置不定，所以存在两种情况． ∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1. (2)当焦点在x轴上时， ∵两个顶点为(－7,0)，(7,0)，∴a＝7. ∴方程可设为＋＝1，又过点(1,1)， 代入可得b2＝，∴椭圆方程为＋＝1. 当焦点在y轴上时，∵两个顶点为(－7,0)，(7,0)， ∴b＝7. ∴椭圆方程可设为＋＝1，又过点(1,1)，代入可得 a2＝，这与a2>b2矛盾，∴不符合题意． 综上

6、可知，椭圆方程为＋＝1. (3)∵2c＝8，∴c＝4，当焦点在x轴上时，因为椭圆顶点为(6,0)，∴a＝6，∴b2＝36－16＝20， ∴椭圆方程为＋＝1. 当焦点在y轴上时，因为顶点为(6,0)，∴b＝6. ∴a2＝36＋16＝52，∴椭圆方程为＋＝1. ∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1. 10．当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144.(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点． [答案]　(1)5　(2)－55 [解析]　由消去y得， 9x2＋16(x＋m)2＝144， 化简整理得，25x2＋32mx＋1

7、6m2－144＝0， Δ＝(32m)2－425(16m2－144)＝－576m2＋14400. (1)当Δ＝0时，得m＝5，直线l与椭圆有且仅有一个公共点． (2)当Δ>0时，得－55，直线l与椭圆无公共点. 一、选择题 1．椭圆的焦点在x轴上，长、短半轴之和为10，焦距为4，则椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 [答案]　A [解析]　由题意得c＝2，a＋b＝10， ∴b2＝(10－a)2＝a2－c2＝a2－20， 解得a2＝36，b2＝16，故椭圆方程为

8、＋＝1. 2．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为(　　) A．8,6　　　　　　　 B．4,3 C．2， D．4,2 [答案]　B [解析]　　椭圆过焦点的弦中最长的是长轴，最短的为垂直于长轴的弦(通径)是. ∴最长的弦为2a＝4，最短的弦为＝＝3， 故选B. 3．(2014大纲全国理，6)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　) A.＋＝1 B．＋y2＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 [答案]　A [解析]　根据条件可知＝，且4a＝4，∴a＝，c＝1，b2＝2

9、，椭圆的方程为＋＝1. 4．(2014抚顺二中期中)在△ABC中，AB＝BC，cosB＝－.若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝(　　) A. B． C. D． [答案]　C [解析]　设|AB|＝x>0，则|BC|＝x， AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcosB ＝x2＋x2－2x2(－)＝x2，∴|AC|＝x， 由条件知，|CA|＋|CB|＝2a，AB＝2c， ∴x＋x＝2a，x＝2c，∴e＝＝＝＝. 二、填空题 5．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________． [答案]　(0，) [解析

10、]　依题意得，c

11、存在，故可设l的方程为y＝kx＋2，代入椭圆方程并整理得： (2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0. ① 由韦达定理有 x1＋x2＝，x1x2＝， ② 过O作OH⊥AB，则|OH|＝. 又∵|AB|＝|x1－x2| ＝， ∴S△AOB＝|AB||OH|＝. ∵S△AOB＝， ∴＝， 即9[(x1＋x2)2－4x1x2]＝4. 将②式代入得9[()2－]＝4， 即4k4－32k2＋55＝0，∴k2＝或k2＝. 又①式的判别式Δ>0，得2k2－3>0，k2>. ∴k＝，k＝均满足． 故直线l的方程为y＝x＋2或y＝x＋2. 8．设F1、F2分别是椭圆＋y2＝1的左、

12、右焦点，设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围． [答案]　－20， 得k>或k<－. ① 又0<∠AOB<90⇔cos∠AOB>0⇔>0. ∴＝x1x2＋y1y2>0. 又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4 ＝＋＋4＝. ∴＋>0. 即k2<4.∴－2