2020高中数学 2.4用向量讨论垂直与平行练习 北师大版选修21

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1、北师大版2019-2020学年数学精品资料 第二章　2.4用向量讨论垂直与平行 一、选择题 1．若平面α，β的一个法向量分别为(－1,2,4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为(　　) A．　 B．－ C．10 D．－10 [答案]　D [解析]　∵α⊥β，∴它们的法向量也互相垂直， ∴(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10， 故选D． 2．(2014·四川省成都七中期末)已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是(　　) A．(1，－4,

2、2) B．(，－1，) C．(－，1，－) D．(0，－1,1) [答案]　D [解析]　因为＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的法向量，则必须满足，把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D． 3．在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，给出下列结论： ①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)． ②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)． ③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)． ④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)． 其中正确的个数为(　　) A．1个　　 B．2个　　 C．3个　　 D．4个 [答案]　C [

3、解析]　DD1∥AA1，＝(0,0,1)；BC1∥AD1，＝(0,1,1)，直线AD⊥平面ABB1A1，＝(0,1,0)；C1点坐标为(1,1,1)，与平面B1CD不垂直，∴④错． 4．已知平面α内有一点A(2，－1,2)，它的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A．(1，－1,1)　　　　 B．(1,3，) C．(1，－3，) D．(－1,3，－) [答案]　B [解析]　要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，即判断·n是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验． 对于选项A，＝(1,0,1)， 则·

4、;n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A； 对于选项B，＝(1，－4，)， 则·n＝(1，－4，)·(3,1,2)＝0，故选B． 5．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量为b＝(2，y,4)，且l1⊥l2，则x＋y＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D．无法确定 [答案]　A [解析]　∵l1⊥l2，∴a⊥b，a·b＝0，∴4＋4y＋4x＝0，即x＋y＝－1. 6．若直线l的方向向量为a＝(1,1,1)，向量b＝(1，－1,0)和向量c＝(0,1，－1)所在的直线都与平面α平行，则(　　) A．l

5、⊥α B．l∥α C．lα D．以上都不对 [答案]　A [解析]　∵(1,1,1)·(1，－1,0)＝0，(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，∴a⊥b，a⊥c，又b与c不平行且b、c所在的直线都与平面α平行，∴l⊥α. 二、填空题 7．已知a＝(x,2，－4)，b＝(－1，y,3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则实数x＝________________，y＝________________，z＝________________. [答案]　－64　－26　－17 [解析]　因为a，b，c两两垂直，所以a·b＝b·c＝c

6、·a＝0， 即，解得. 8．已知空间三点A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________________． [答案]　(－，，1) [解析]　设M(x，y，z)，又＝(－1,1,0)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y－2，z＋3)， 由题意得∴x＝－，y＝，z＝1， ∴点M的坐标为(－，，1)． 三、解答题 9．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F. (1)证明PA∥平面EDB； (2)证明PB⊥

7、平面EFD． [证明]　如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设DC＝A． (1)连接AC、AC交BD于G，ABCD为正方形，∴G为AC中点，连接EG. 简解：又E为PC中点∴PA∥GE又GE平面BDE，PA⃘平面BDE∴PA∥平面BDE (2)依题意，得B(a，a,0)，P(0,0，a)，E(0，，)．∴＝(a，a，－a)． 又＝(0，，)，故·＝0＋－＝0. ∴PB⊥DE. 又EF⊥PB，且EF∩DE＝E. ∴PB⊥平面EFD． 10．如图， 正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E、F分别是棱AB、BC的中点，EF∩BD＝

8、G.求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1. [证明]　以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由题意知：D(0,0,0)，B1(2，2，4)，E(2，，0)，F(，2，0)， ＝(0，－，－4)，＝(－，，0)． 设平面B1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)． 则n·＝－y－4z＝0，n·＝－x＋y＝0. 解得x＝y，z＝－y，令y＝1得n＝(1,1，－)， 又平面BDD1B1的一个法向量为＝(－2，2，0)， 而n·＝1×(－2)＋1×2＋(－)×0＝0， 即n⊥.∴平面B1EF

9、⊥平面BDD1B1. 一、选择题 1．如图，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°，E为AC的中点，那么以下向量为平面ACD的法向量的是(　　) A．　　　　　　 B． C．　　 D． [答案]　B [解析]　方法一：判断平面ACD的法向量，可以从平面ACD中找出，，中的两个向量，分别与选项中的向量求数量积，判断垂直而得． 方法二：直接利用已知边角关系判断线面垂直． 设AD＝1，则BD＝CD＝1.因为△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，所以AB＝AC＝. 又因为∠BAC＝60°，所以

10、BC＝.所以△BCD也是直角三角形，且BD⊥CD，从而可得BD⊥平面ACD． 2．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(　　) A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4 C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1 [答案]　B [解析]　a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)， 2a－b＝(2－x,3，－2y－2)， ∵(a＋2b)∥(2a－b)， ∴，∴ 3．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2，3,2)，则(　　) A．l1∥l2 B．l1⊥l2 C．l1，l2相交但不垂直 D．l1，l2的关系不能确定 [

11、答案]　B [解析]　a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0， ∴a⊥B．∴l1⊥l2. 4．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　) A．(，，－) B．(，－，) C．(－，，) D．(－，－，－) [答案]　D [解析]　＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)．设平面ABC的一个单位法向量为u＝(x，y，z)，则u·＝0，u·＝0，得x，y，z之间的关系，且x2＋y2＋z2＝1，求值即可． 二、填空题 5．已知点P是平行四边形A

12、BCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________________． [答案]　①②③ [解析]　·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则⊥. ·＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则⊥， ∵⊥，⊥，∩＝A， ∴⊥平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量． 6．如图，已知矩形ABCD，PA＝AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点

13、Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________________． [答案]　2 [解析]　先建立如图所示的空间直角坐标系，设||＝b，则A(0,0,0)，Q(1，b,0)，P(0,0,1)，B(1,0,0)，D(0，a,0)，所以＝(1，b，－1)，＝(－1，a－b,0)． ∵⊥，∴b2－ab＋1＝0. ∵b只有一解，∴Δ＝0，可得a＝2. 三、解答题 7．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点． (1)求证：B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由． [

14、证明]　(1)以A为原点，、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)． 设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E(，1,0)，B1(a,0,1)，故＝(0,1,1)，＝(－，1，－1)，＝(a,0,1)，＝(，1,0)． ∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0， ∴B1E⊥ AD1. (2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)， 使得DP∥平面B1AE.此时＝(0，－1，z0)． 又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)． ∵n⊥平面B1AE，∴n⊥ ，n⊥，得 取x＝1

15、，得平面B1AE的一个法向量n＝(1，－，－a)．要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝.又DP⊄平面B1AE， ∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝. 8．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱DD1上是否存在点P，使得平面APC1⊥平面ACC1？证明你的结论． [解析]　假设点P存在，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为a，DP＝m(0≤m≤a)，则由正方体的性质知，CC1⊥BD，AC⊥BD，CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面ACC1， 因此，＝(a，a,0)是平面ACC1的一个法向量． ∵平面APC1⊥平面ACC1， ∴在平面APC1内或与平面APC1平行， ∴存在实数x与y，使得＝x＋y. ∵＝(－a，a，a)，＝(－a,0，m)， ∴，解得. ∴点P存在，且当点P为DD1的中点时，平面APC1⊥平面ACC1.