2020高中数学 3.2导数的概念及其几何意义练习 北师大版选修11

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1、 北师大版2019-2020学年数学精品资料 【成才之路】高中数学 3.2导数的概念及其几何意义练习 北师大版选修1-1 一、选择题 1．如果函数y＝f(x)在点(3,4)处的切线与直线2x＋y＋1＝0平行，则f′(3)等于(　　) A．2 B．－ C．－2 D． [答案]　C [解析]　∵切线的斜率为－2，∴f′(3)＝－2，故选C. 2．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么(　　) A．f ′(x0)＞0 B．f ′(x0)＜0 C．f ′(x0)＝0 D．f ′(x0)不存在 [答案]　B [解析]　由导数的几何意

2、义可知f ′(x0)＝－<0，故选B. 3．曲线y＝x3－2在点(－1，－)处切线的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．135° D．60° [答案]　B [解析]　Δy＝(－1＋Δx)3－×(－1)3＝Δx－(Δx)2＋(Δx)3，＝1－Δx＋(Δx)2， ＝ (1－Δx＋(Δx)2)＝1， ∴曲线y＝x3－2在点处切线的斜率是1，倾斜角为45°. 4．函数y＝x＋在x＝1处的导数是(　　) A．2 B． C．1 D．0 [答案]　D [解析]　Δy＝(Δx＋1)＋－1－1＝Δx＋， ＝1

3、－， ＝ ＝1－1＝0， ∴函数y＝x＋在x＝1处的导数为0. 5．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 [答案]　A [解析]　由已知点(0，b)是切点． Δy＝(0＋Δx)2＋a(0＋Δx)＋b－b ＝(Δx)2＋aΔx， ∴＝Δx＋a，y′|x＝0＝ ＝a. ∵切线x－y＋1＝0的斜率为1，∴a＝1. 又切点(0，b)在切线上，∴b＝1. 6．如果某物体做运动方程为s＝2(1－t2)的直线运动(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在

4、1.2s末的瞬时速度为(　　) A．－4.8m/s B．－0.88m/s C．0.88m/s D．4.8m/s [答案]　A [解析]　＝ ＝－4.8－2Δt， 当Δt趋于0时，趋于－4.8，故物体在t＝1.2s末的瞬时速度为－4.8m/s. 二、填空题 7．已知函数f(x)＝x3＋2，则f ′(2)＝________. [答案]　12 [解析]　f ′(2)＝ ＝ ＝[4＋4Δx＋(Δx)2＋4＋2Δx＋4] ＝[12＋6Δx＋(Δx)2]＝12. 8．若抛物线y＝x2与直线2x＋y＋m＝0相切，则m＝________. [答案]　1 [解析]　设切点为P

5、(x0，y0)，易知，y′|x＝x0＝2x0. 由，得，即P(－1,1)， 又P(－1,1)在直线2x＋y＋m＝0上， 故2×(－1)＋1＋m＝0，即m＝1. 三、解答题 9．直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切． (1)求切点的坐标； (2)求a的值． [答案]　(1)或(1,1)　(2) [解析]　(1)设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)． f ′(x)＝ ＝ ＝3x2－2x. 由题意知，k＝1，即3x－2x0＝1，解得x0＝－或x0＝1. 于是切点的坐标为或(1,1)． (2)当切点为时，＝－＋a，∴a＝； 当切

6、点为(1,1)时，1＝1＋a，∴a＝0(舍去)． ∴a的值为，切点坐标为(－，)． 10．求下列函数的导数． (1)求函数y＝在x＝1处的导数； (2)求y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数． [答案]　(1)y′|x＝1＝　(2)y′＝2x＋a [解析]　(1)解法一：(导数定义法)：Δy＝－1， ＝＝. ＝＝，∴y′|x＝1＝. 解法二：(导函数的函数值法)：Δy＝－， ＝＝. ∴ ＝ ＝. ∴y′＝，∴y′|x＝1＝. (2)y′＝ ＝ ＝ ＝ (2x＋a＋Δx) ＝2x＋a. 一、选择题 1．曲线y＝x2－2在点(1，－)处切线的倾斜角为

7、(　　) A．1 B． C.π D．－ [答案]　B [解析]　由导数的定义可知f′(x)＝x， 所以f′(1)＝1＝tanθ，故θ＝. 2．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则的值为(　　) A. B．－ C. D．－ [答案]　D [解析]　由导数的定义可得y′＝3x2， ∴y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3， 由条件知，3×＝－1，∴＝－. 3．已知函数y＝f(x)的图像如图，f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．0>f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA

8、)<f′(xB)<0 C．f′(xA)＝f′(xB) D．f′(xA)>f′(xB)>0 [答案]　B [解析]　f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图像在点A，B处的切线斜率，故f′(xA)<f′(xB)<0. 4．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为(　　) A．y＝x－1 B．y＝－x＋1 C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2 [答案]　A [解析]　 ∵f′(x)＝ ＝ ＝ ((Δx)2＋3x·Δx＋3x2－2) ＝3x2－2， ∴f′(1)＝3－2＝1， ∴切线的方程为y＝x－1. 二、填

9、空题 5．函数y＝f(x)的图像在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f ′(5)＝________. [答案]　2 [解析]　由条件知，f(5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝－1， ∴f(5)＋f ′(5)＝2. 6．如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，则f[f(0)]＝__________； ＝________.(用数字作答) [答案]　2　－2 [解析]　考查函数的基本概念、图像与导数的定义． 易知f(x)＝， ∴f(0)＝4，f[f(0)]＝f(4)＝2(也可直接由图示得知)

10、 由导数的定义知 ＝f′(1)＝－2. 三、解答题 7．已知曲线C：y＝经过点P(2，－1)，求 (1)曲线在点P处的切线的斜率． (2)曲线在点P处的切线的方程． (3)过点O(0,0)的曲线C的切线方程． [答案]　(1)1　(2)x－y－3＝0　(3)y＝4x [解析]　(1)将P(2，－1)代入y＝中得t＝1， ∴y＝. ∴＝＝ ＝， ∴ ＝， ∴曲线在点P处切线的斜率为k＝y′|x＝2＝＝1. (2)曲线在点P处的切线方程为y＋1＝1×(x－2)，即x－y－3＝0. (3)∵点O(0,0)不在曲线C上，设过点O的曲线C的切线与曲线C相切于点M(

11、x0，y0)，则切线斜率k＝＝， 由于y0＝，∴x0＝，∴切点M(，2)，切线斜率k＝4，切线方程为y－2＝4(x－)，即y＝4x. 8．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程； (2)求由直线l1、l2和x轴围成的三角形的面积 [答案]　(1)y＝－x－　(2) [解析]　(1)y′＝ ＝ ＝ (2x＋Δx＋1)＝2x＋1. ∴f′(1)＝2×1＋1＝3， ∴直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3. 设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)， 则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2. ∵l1⊥l2，则有2b＋1＝－，b＝－. ∴直线l2的方程为y＝－x－. (2)解方程组，得. 故直线l1和l2的交点坐标为(，－)． l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)、(－，0)． 所以所求三角形的面积S＝××|－|＝.