基本初等函数图像及性质大全(初中高中)

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1、 一、一次函数与二次函数 （一）一次函数 一次 k kx b k 0 函数 k ， b k 0 k 0 符号 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0 y y y y y y 图象 O x O x O x 性质 y 随 x 的增大而增大 （二）二次函数 （1）二次函数解析式

2、的三种形式  O x O x O x y 随 x 的增大而减小 ①一般式： f ( x) ax2 bx c(a 0) ②顶点式： f (x) a( x h) 2 k (a 0) ③两根式： f ( x) a( x x1)( x x2 )(a 0) （ 2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 f (x) 更方便． （3）二次函数图象的性质 f x ax2 bx

3、c a 0 a 0 a 0 图像 x b x b 2 a 2 a 定义域 , 对称轴 x b 2a 顶点坐标 b 4 ac b2 2 a , 4 a 值域 4 ac b 2 , , 4 ac b 2 4 a 4 a

4、 , b 递减 , b 递增 2a 单调区间 2 a b 递增 b , 递减 , 2 a 2 a 1 ①. 二次函数 f ( x) ax2 bx c(a 0) 的图象是一条抛物线， 对称轴方程为 x b , 顶点坐标 2a 是 ( b , 4ac b2 )

5、2a 4a ②当 a 0 时，抛物线开口向上，函数在 ( , b ] 上递减，在 [ b , ) 上递增，当 x b 2a 2a 2a 4ac b2 0 时，抛物线开口向下， 函数在 ( b ] 上递增，在 [ b ) 时， fmin ( x) ；当 a , , 4a 2a 2a 上递减，当 x 4ac b2

6、 b 时， fmax (x) 4a ． 2a 二、幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数 y x 叫做幂函数，其中 x 为自变量， 是常数． （2）幂函数的图象 过定点：所有的幂函数在 (0, ) 都有定义，并且图象都通过点 (1,1)．

7、 2 三、指数函数 （1）根式的概念：如果 xn a, a R, x R, n 1，且 n N ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根． （2）分数指数幂的概念 m n am (a ①正数的 正分数指数幂 的意义是： a n 0, m, n N ,

8、 且 n 1) ．0 的正分数指数幂 等于 0． m m 1 )m (a 0, m, n ②正数的 负分数指数幂 的意义是： a n( 1 ) n n ( N , 且 n 1) ．0 的负 a a 分数指数幂没有意义．

9、 （3）运算性质 ① a r a s a r s( a 0, , ) r s a rs (a 0, r , s R) r s R ② ( a ) ③ ( ab )r r b r ( a 0, b 0, r ) a R

10、 （4）指数函数 函数名称 指数函数 定义 函数 y a x( a 0 且 a 1) 叫做指数函数 a 1 0 a 1 y y a x y a x y

11、 图象 y 1 y 1 (0,1) (0,1) O  x  O x 定义域 R 值域 (0, ) 过定点 图象过定点 (0,1) ，即当 x 0 时， y 1． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 ax 1 ( x 0) ax 1 ( x 0) 函数值的 ax 1 ( x 0) ax 1 ( x 0) 变化情况 ax ax 1 (x

12、 0) 1 ( x 0) a 变化对图象的影响 在第一象限内， a 越大图象越高；在第二象限内， a 越大图象越低． 3 四、对数函数 （1）对数的定义： ① 若 ax N (a 0, 且a 1) ，则 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x log a N ， 其中 a 叫做底数， N 叫做真数． ② 负数和零没有对数． ③ 对数式与指数式的互化： x log a N ax

13、 N (a 0, a 1, N 0) ． （2）几个重要的对数恒等式： log a 1 0 ， log a a 1， loga ab b ． （3）常用对数与自然对数 常用对数： lg N ，即 log 10 N ；自然对数： ln N ，即 log e N （其中 e 2.71828⋯）． （4）对数的运算性质 如果 a 0, a 1, M 0, N 0 ，那么 ①加法： log a M log a N

14、 loga (MN ) ②减法： log a M log a N log a M N ③数乘： n log a M log a M n (n R) ④ alog a N N ⑤ log b M n n log a M ( b 0, n ) ⑥换底公式： log a log b N 0, 且 b 1) a b R N (b

15、 log b a （5）对数函数 函数名称 对数函数 定义 函数 y log a x( a 0 且 a 1) 叫做对数函数 a 1 0 a 1 y x 1 y x 1 y log a

16、x y log a x 图象 (1,0) O (1,0) x O x 定义域 (0, ) 值域 R 过定点 图象过定点 (1,0) ，即当 x 1 时， y 0 ． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在 定义域 上是增函数 在 定义域 上是减函数 log a x 0 ( x 1) log a x 0 ( x 1)

17、 函数值的 log a x 0 ( x 1) log a x 0 ( x 1) 变化情况 log a x 0 (0 x 1) log a x 0 (0 x 1) a 变化对 图象的影响 在第一象限内， a 越大图象越靠低；在第四象限内， a 越大图象越靠高． 4 五、反函数 （1）反函数的概念 设函数 y f (x) 的定义域为 A ，值域为 C ，从式子 y f ( x) 中解出 x ，得式子 x ( y) ．如果 对于 y 在 C 中

18、的任何一个值，通过式子 x ( y) ， x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应，那么 式子 x ( y) 表示 x 是 y 的函数， 函数 x ( y) 叫做函数 y f (x) 的反函数， 记作 x f 1( y) ， 习惯上改写成 y f 1 ( x) ． （ 2）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域； ②从原函数式 y f ( x) 中反解出 x f 1 ( y) ； ③将 x f 1 ( y) 改写成 y f 1 (x) ，并注明反函数的定义域． （3）反函数的性质

19、①原函数 y f ( x) 与反函数 y f 1( x) 的图象关于直线 y x 对称． ②函数 y f (x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1 (x) 的值域、定义域． ③若 P(a,b) 在原函数 y f ( x) 的图象上，则 P (b, a) 在反函数 y f 1( x) 的图象上． ④一般地，函数 y f ( x) 要有反函数则它必须为单调函数． 六、三角函数的图像和性质 （一）正弦与余函数的图像与性质 函数 y cosx y sin x 图像

20、 定域义 R R 值域 1,1 1,1 最值 x 2k 时 , y最大 ， k Z x 2k 时 , y最大 ， k Z 1 1 2 x 2k 时 , y最小 ， Z x 2k 时

21、 , y最小 ， Z 1 k 1 k 2 单调性 在每个 [ 2 k , 2k ] 上递增 2 2 在每个 [ 2k , 3 2 k ] 上递减 2 2 k Z  在每个 [ 2k ,2 k ]上递增 在每个 [2 k , 2k ] 上递减 k Z 5 奇偶性 奇函数 偶函数

22、 周期性 是周期函数， 2 为最小正周期 是周期函数， 2 为最小正周期 对称性 对称中心 (k ,0) ， 对称中心 ( k ,0) ， 2 对称轴 : x k ,( k Z ) 对称轴 : x k ,( k Z ) 2 2. 正切与余切函数的图像与性质 函数 图像  y tan x y cot x 定域义 { x | x R且 x k

23、 ,k Z} { x | x R且x k ,k Z} 2 值域 R R 单调性 在每个 ( k ,k )上递增 在每个 ( k , k )上递减 2 2 k Z k Z 奇偶性 奇函数 奇函数 周期性 是周期函数， 为最小正周期 是周期函数， 为最小正周期 对称性 对称中心 ( k ,0) 对称中心 ( k ,0) 2 2

24、 6 七、反三角函数的图像与性质 1. 反正弦与反余函数的图像与性质 反正弦函数 y arcsin x 反余弦函数 y arccosx 函数 是 y cos x， x 0, 的反函数 ysin x ， x , 2 是 2 的反函数 图像 定域义 1,1 1

25、,1 值域 , 2 0, 2 单调性 在[ 1, 1]上递增 在[ 1, 1]上递减 奇偶性 奇函数 非奇非偶 周期性 无 无 对称性 对称中心 (0,0) 对称中心 (0, ) 2 2. 反正切与反余切函数的图像与性质 函数 arctan x 反余切函数 y arccot x 反正切函数 y 是 y tan x， x ( , ) 的反函数 是 y cot x， x 0,的反函数 2 2 图像 定域义 ( , , ) ( , , ) 值域 2 2 0, , 单调性 在 ( , , )上递增 在( , , )上递减 奇偶性 奇函数 非奇非偶 周期性 无 无 对称性 对称中心（ 0， 0） 对称中心（ 0，π /2） 7