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【成才之路】高中数学 第4章 2微积分基本定理课时作业 北师大版选修2-2
一、选择题
1． (1＋cosx)dx等于( )
A．π B．2
C．π－2 D．π＋2
[答案] D
[分析] 利用微积分基本定理求定积分．
[解析] (1＋cosx)dx＝(x＋sinx) ＝(＋sin)－[－＋sin(－)]＝π＋2，故选D.
2．(2014·昆明一中模拟)曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴所围成图形的面积为( )
A．1 B．2
C． D．π
[答案] B
[解析] sinxdx＝(－cosx)
2、|＝－cosπ＋cos0＝2.
3．若(2x＋)dx＝3＋ln2，则a的值是( )
A．6 B．4
C．3 D．2
[答案] D
[解析] (2x＋)dx＝2xdx＋dx
＝x2|＋lnx|＝a2－1＋lna＝3＋ln2.
∴a＝2.
4．(2014·山东理，6)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A．2 B．4
C．2 D．4
[答案] D
[解析] 如图所示
∴第一象限的交点坐标为(2,8)
由定积分的几何意义：S＝(4x－x3)dx
＝(2x2－)|＝8－4＝4.
求曲边图形的面积
3、通常是应用定积分计算．
5．(2014·大连模拟)已知f(x)为偶函数且f(x)dx＝8，则f(x)dx等于( )
A．0 B．4
C．8 D．16
[答案] D
[解析] 因为f(x)为偶函数，图像关于y轴对称，所以f(x)dx＝2f(x)dx＝8×2＝16.
二、填空题
6．若x2dx＝9，则常数T的值为________．
[答案] 3
[解析] 由x2dx＝|＝＝9，解得T＝3.
7．已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.
[答案] －1或
[解析] f(x)dx＝ (3x2＋2x＋
4、1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝4，
所以2(3a2＋2a＋1)＝4，
即3a2＋2a－1＝0，
解得a＝－1或a＝.
8．若a＝x2dx，b＝x3dx，c＝sinxdx，则a、b、c的大小关系是________．
[答案] c<a<b
[解析] a＝x2dx＝x3|＝，b＝x3dx＝x4|＝4，c＝sinxdx＝(－cosx)|＝－cos2＋1<2，∴c<a<b.
三、解答题
9．求定积分：
(1)4x3dx；(2)；(3) sinxdx.
[分析] 利用微积分基本定理解决．其中计算定积分f(x)dx的关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数
5、F(x)．
[解析] (1)4x3dx＝x4|＝1－0＝1；
(2)＝lnx|＝ln5－ln2＝ln；
(3) sinxdx＝－cosx|0＝－(cos－cos0)＝1.
10．计算下列定积分：
(1)dx； (2)2xdx；
(3) (2x＋cosx)dx； (4) sin2xdx.
[解析] (1)因为[ln(3x＋2)]′＝，
所以dx＝ln(3x＋2)|＝ln(3e＋2)－ln(3×0＋2)＝ln.
(2)因为()′＝2x，所以2xdx＝()|＝－＝.
(3)因为(sinx＋x2)′＝cosx＋2x，所以 (2x＋cosx)dx＝(sinx＋x2) ＝s
6、in＋()2－sin(－)－(－)2＝2.
(4)对原式化简sin2xdx＝dx，因为(x－sin2x)′＝，所以sin2xdx＝dx＝(x－sin2x) ＝.
一、选择题
1. (sinx＋cosx)dx等于( )
A．0 B．－1
C．1 D．2
[答案] A
[解析] (sinx＋cosx)dx
＝sinxdx＋cosxdx
＝(－cosx)|＋sinx|v＝0＋0＝0.
2.(ex＋e－x)dx等于( )
A．e＋ B．2e
C． D．e－
[答案] D
[解析] (ex＋e－x)dx＝exdx＋e－xdx
＝ex|＋(－e－x)|＝
7、e－e0－e－1＋e0
＝e－.
3．设a>0，a≠1，若axdx＝＝－2ax|，则a的值为( )
A．e－2 B．e2
C．e－ D．e
[答案] C
[解析] axdx＝a|＝－＝－2ax|
＝－2a2＋2
∴(a2－1)(＋2)＝0
∵a>0且a≠1，∴lna＝－，∴a＝e－
4．已知f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，则f(x)的解析式为( )
A．4x＋3 B．3x＋4
C．－4x＋2 D．－3x＋4
[答案] A
[解析] 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(x)dx
＝(ax＋b)dx＝(
8、ax2＋bx)|
＝a＋b＝5， ①
xf(x)dx＝(ax2＋bx)dx
＝(ax3＋bx2)|＝a＋b＝. ②
联立①②，解得a＝4，b＝3，
∴f(x)＝4x＋3.
二、填空题
5.已知函数y＝f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)、B(，1)、C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形的面积为________．
[答案]
[解析] 本题主要考查了定积分求面积，由条件得f(x)＝
xf(x)＝ S＝xf(x)dx＝2x2dx＋ (－2x2＋2x)dx
＝(x3)＋(－)＝×()3＋(－＋1)－[－×()3＋
9、()2]＝.
由图形得函数解析式，注意f(x)的图像是折线段，故f(x)的解析式要写成分段函数的形式，进一步xf(x)的解析式也要写成分段函数的形式．
6．(2014·汕头模拟)由三条曲线y＝x2，y＝，y＝1所围成的封闭图形的面积为________．
[答案]
[解析] 解方程组和得交点坐标(－1，1)，(1,1)，(－2,1)，(2,1)．
则S＝2[(x2－)dx＋(1－)dx]
＝2(x3|＋x|－x3|)＝.
三、解答题
7．求下列函数的定积分：
(1)(3x2＋4x3)dx；(2) sin2dx；(3)(－1)dx.
[解析] (1)原式＝3x2d
10、x＋4x3dx＝3x2dx＋4x3dx＝＋＝8＋16＝24.
(2)原式＝dx＝dx＝
(1－cosx)dx＝1dx－cosxdx
＝x＝－.
(3)原式dx－1dx＝xdx－1＝ x－1＝×(－1)－1＝×(2－1)－1＝－－1＝－＝.
8.已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0， f(x)dx＝－2，求a、b、c的值．
[解析] 由f(－1)＝2，得a－b＋c＝2，又f′(x)＝2ax＋b，所以f′(0)＝b＝0，而 f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)＝＝a＋b＋c，所以a＋b＋c＝－2，解方程组解得
新编高中数学 第4章 2微积分基本定理课时作业 北师大版选修22
