新编高中数学北师大版选修22教案：第1章 范例典悟：直接证明与间接证明

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1、新编数学北师大版精品资料 直接证明与间接证明 例1 已知、、，求证：。 例2 当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大。 例3 已知三个关于的方程，，中，至少有一个方程有实根，求实数的取值范围。 参考答案 例1： 分析：不等式中的、、为对称的，所以从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数的平均数定理，再据不等式性质推导出证明的结论。 证明：∵，、、，∴， ∴，∴。 同理：， 将三式相加得。 ∴ 。 ∴。 评注：在运用综合法证明不等式时，常利用不等式的基本性质，如同向不等式

2、相加，同向不等式相乘等，但在运用这些性质时，一定要注意这些性质成立的前提条件。 例2： 分析：应用分析法证题时，语气总是假定的，通常用“欲证只需证”的语句，在证明过程中一个终结代替另一个终结时，必须注意它们间的等价性。 证明：设圆和正方形的周长为，依题意，圆的面积为，正方形的面积为，因此本题只需证明。 为了证明成立，只需证明， 两边同乘以正数得，因此，只需证明。 因为上式是成立的，所以。 这就证明了，如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么这个圆的面积比这个正方形的面积大。 评注：在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实。因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略。 例3： 分析：含有至多、至少字样的问题，往往用反证法去解决。 解析：三个方程都没有实根的充要条件是 即 解得。 ∴使三个方程至少有一个方程有实根的实数的取值范围为。 评注：反证法的逻辑根据为：要证明命题“若则为真”，该证“若则为假”，因此，反证法的核心是从出发导出矛盾。