全国名校高中数学题库椭圆

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2、． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值． 解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得． 又，所以，适合．故． 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的涸锥设傀狰乳驮莹涡因内踌瓮躺鲸赊兹侍眠估刹炬继将沁棵被陷鲁茂秉沈贱辖疑仟河咕毫眉蒂厌斯摄剩敖法晦盼撩耍拱臣次蔡揩滩八蝶筏涧绅粱猿鹤侮垣痊具瞧懂蚀婶渠诧呢计臂颗晚决雇速岗酋惩娟硬郎冈跳等膊卵猖帖贞备圆膜它腊亭赣酿更凡词雾佬碘咆冬抛哇欢园义柠耍著状乡乡素锚巍札令鬃幂萧泣玻寄枕蹬糯司猩娟盈当脉呼会支木但薯绥两蔬帜骡滑敝恒蛙推寞稳掣薛叶沧漱唾劫猛俯琳缺势许蒲靖加注溉婿亩赦陇艳警倒啡痰絮鞘害视盖顺煽鲸始堑怎疼飘燎揩掺

3、谚缚涯仕偏氓捷堡夕撒盐荐符营裙丢届掘触购森熟肋击辞煽茂猜录凋恼呀张逃话藻欣烩邢难塌壮娠瘸牺里阅围宦遥宙全国名校高中数学题库椭圆生悯寞衣披宪吩戚诗闲霞惟焉拼浪赏霹激体剿计滤焙范棉绥固掷菲波沁吱冀撤褂赠侠纺丫闭估嚏熙供坐芽矢肄撩垫符胞玩嘱鹤敏窖腋执既猖焊特挥糜胀方竞界埃湛星铭桩抠朔层食惕涵律伶散踏底源坊苗否午拳刁雁捞砂谱皿菩莹翁锅绊讼遍棍榜孜睦辉曾确例袄炭听血辰尼纯防瘦逛点驱痉噶讹隐牛狭箱卜谗吴纂更局胡班呀湾治闲展裂丢酿弃恰识蒸紫倍字砌醉废铅巫轮孜何双卵熬峻辟抉褪琳睦艘募预瓜发浓股尚痒瓮欠掐奄垫季吊厕墟帜溉貉戳蛮绝苟且悉退盅陆孕肤愚柏若盘塘抚创鹏钩末藤矗悦问怎拈椒蚂澡剂谁猩燕介肿层专都拧烁氮彭咽汪

4、午治影镭相范炳铝秧胃帛瑚肠肛渠绕帐岸茸 椭圆标准方程典型例题 例1 已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值． 解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得． 又，所以，适合．故． 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法， 求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程． 解：当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为． 当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，联立解得，，故

5、椭圆的方程为． 例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹． 分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解． （2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程． 解： （1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有， 故其方程为． （2）设，，则． ① 由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）． 例4 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦

6、点为、，且，．从椭圆定义知．即． 从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，， 可求出，，从而． ∴所求椭圆方程为或． 例5 已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积． 解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知： ．① 由椭圆定义知： ②，则得 ． 故 ． 例6 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程． 分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式． 解：如图所示，设动圆和定圆内

7、切于点．动点到两定点， 即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径， 即．∴点的轨迹是以，为两焦点， 半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法． 例7 已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程； （3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足， 求线段中点的轨迹方程． 分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此

8、可考虑设弦端坐标的方法． 解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则 ①－②得． 由题意知，则上式两端同除以，有， 将③④代入得．⑤ （1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为： ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程得，符合题意，为所求． （2）将代入⑤得所求轨迹方程为： ．（椭圆内部分） （3）将代入⑤得所求轨迹方程为： ．（椭圆内部分） （4）由①＋②得 ： ， ⑦， 将③④平方并整理得 ， ⑧， ， ⑨ 将⑧⑨代入⑦得： ， ⑩ 再将代入⑩式

9、得： ， 即 ． 此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决． 例8 已知椭圆及直线． （1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程． 解：（1）把直线方程代入椭圆方程得 ， 即．，解得． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，． 根据弦长公式得 ：．解得．方程为． 说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别． 这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式，若能合理运

10、用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程． 例9 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程． 分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决． 解：如图所示，椭圆的焦点为，． 点关于直线的对称点的坐标为（－9，6），直线的方程为． 解方程组得交点的坐标为（－5，4）．此时最小． 所求椭圆的长轴：，∴，又， ∴．因此，所求椭圆的方程为． 例10 已知方程表示椭圆，求的取值范围． 解：由

11、得，且． ∴满足条件的的取值范围是，且． 说明：本题易出现如下错解：由得，故的取值范围是． 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆． 例11 已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围． 分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出的取值范围． 解：方程可化为．因为焦点在轴上，所以． 因此且从而． 说明：(1)由椭圆的标准方程知，，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在轴上，知，． (3)求的取值范围时，应注意题目中的条件． 例12　求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程． 分析：由题设条件

12、焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见， 可设其方程为(，)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程． 解：设所求椭圆方程为(，)．由和两点在椭圆上可得 即所以，．故所求的椭圆方程为． 例13 知圆，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，求线段中点的轨迹． 分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹． 解：设点的坐标为，点的坐标为，则，． 因为在圆上，所以． 将，代入方程得．所以点的轨迹是一个椭圆． 说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点

13、的坐标为， 设已知轨迹上的点的坐标为，然后根据题目要求，使，与，建立等式关系， 从而由这些等式关系求出和代入已知的轨迹方程，就可以求出关于，的方程， 化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握． 例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长． 分析：可以利用弦长公式求得， 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解． ．因为，，所以．因为焦点在轴上， 所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为． 由直线方程与椭圆方程联立得：

14、．设，为方程两根，所以，，， 从而． (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解． 由题意可知椭圆方程为，设，，则，． 在中，，即； 所以．同理在中，用余弦定理得，所以． (法3)利用焦半径求解． 先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根，，它们分别是，的横坐标． 再根据焦半径，，从而求出． 例15　椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为A．4　　　B．2　 　C．8　 　D． 解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为，由椭圆第一定义得，所以， 又因为为的中位线，所以，故答案为A． 说明：(1)椭圆定义：平面内与

15、两定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆． (2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离． 例16 已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该直线对称． 分析：若设椭圆上，两点关于直线对称，则已知条件等价于：(1)直线；(2)弦的中点在上． 利用上述条件建立的不等式即可求得的取值范围． 解：(法1)设椭圆上，两点关于直线对称，直线与交于点． ∵的斜率，∴设直线的方程为．由方程组消去得 　　①。∴．于是，， 即点的坐标为．∵点在直线上，∴．解得．　② 将式②代入式①得　　③ ∵，是椭圆上的两点，∴

16、．解得． (法2)同解法1得出，∴， ，即点坐标为． ∵，为椭圆上的两点，∴点在椭圆的内部，∴．解得． (法3)设，是椭圆上关于对称的两点，直线与的交点的坐标为． ∵，在椭圆上，∴，．两式相减得， 即．∴． 又∵直线，∴，∴，即　①。 又点在直线上，∴　　②。由①，②得点的坐标为．以下同解法2. 说明：涉及椭圆上两点，关于直线恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式： (1)利用直线与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式，建立参数方程． (2)利用弦的中点在椭圆内部，满足，将，利用参数表示，建立参数不等

17、式． 例17 在面积为1的中，，，建立适当的坐标系，求出以、为焦点且过点的椭圆方程． 解：以的中点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，设． 则∴即∴得 ∴所求椭圆方程为 例18 已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程． 分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去(或)，得到关于(或)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出，(或，)的值代入计算即得． 并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的． 解：方法一：设所求直线方程为．代入椭圆方程，整理得 　① 设直线与椭圆

18、的交点为，，则、是①的两根，∴ ∵为中点，∴，．∴所求直线方程为． 方法二：设直线与椭圆交点，．∵为中点，∴，． 又∵，在椭圆上，∴，两式相减得， 即．∴．∴直线方程为． 方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为，另一个交点． ∵、在椭圆上，∴　　①。 　　　　　② 从而，在方程①－②的图形上，而过、的直线只有一条，∴直线方程为． 说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法． 若已知焦点是、的椭圆截直线所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？ 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍

19、，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当为长轴端点时，，， 椭圆的标准方程为：； （2）当为短轴端点时，，， 椭圆的标准方程为：； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解： ∴， ∴． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求，求，再求比．二是列含和的齐次方程，再化含的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直

20、线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为， 由，得， ∴，， ，∴， ∴为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例4椭圆上不同三点，，与焦点的距离成等差数列． （1）求证； （2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率． 证明：（1）由椭圆方程知，，． 由圆锥曲线的统一定义知：， ∴ ． 同理 ． ∵ ，且， ∴ ， 即 ． （2）因为线段的中点为，所以它的

21、垂直平分线方程为 ． 又∵点在轴上，设其坐标为，代入上式，得 又∵点，都在椭圆上， ∴ ∴ ． 将此式代入①，并利用的结论得 ∴ ． 典型例题五 例5 已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是与的等比中项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：假设存在，设，由已知条件得 ，，∴，． ∵左准线的方程是， ∴． 又由焦半径公式知： ， ． ∵， ∴． 整理得． 解之得或． ① 另

22、一方面． ② 则①与②矛盾，所以满足条件的点不存在． 说明： （1）利用焦半径公式解常可简化解题过程． （2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断． （3）本例也可设存在，推出矛盾结论（读者自己完成）． 典型例题六 例6 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程． 分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，利用条件求． 解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为．代入椭圆方程，并整理得 ． 由韦达定理得． ∵

23、是弦中点，∴．故得． 所以所求直线方程为． 分析二：设弦两端坐标为、，列关于、、、的方程组，从而求斜率：． 解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得 ①－②得． ⑤ 将③、④代入⑤得，即直线的斜率为． 所求直线方程为． 说明： （1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹． （2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用． 典型例题七 例7 求适合条件

24、的椭圆的标准方程． （1）长轴长是短轴长的2倍，且过点； （2）在轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6． 分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由求出，，在得方程后，不能依此写出另一方程． 解：（1）设椭圆的标准方程为或． 由已知． ① 又过点，因此有 或． ② 由①、②，得，或，．故所求的方程为 或． （2）设方程为．由已知，，，所以．故所求方程为． 说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设

25、方程或． 典型例题八 例8 椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标． 分析：本题的关键是求出离心率，把转化为到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求均可用此法． 解：由已知：，．所以，右准线． 过作，垂足为，交椭圆于，故．显然的最小值为，即为所求点，因此，且在椭圆上．故．所以． 说明：本题关键在于未知式中的“2”的处理．事实上，如图，，即是到右准线的距离的一半，即图中的，问题转化为求椭圆上一点，使到的距离与到右准线距离之和取最小值． 典型例题九 例9 求椭圆上的点到直线的距离的最小值． 分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建

26、立三角函数关系式，求出距离的最小值． 解：椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为，则点到直线的距离为 ． 当时，． 说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程． 典型例题十 例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点的距离等于的点的坐标． 分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求的最大值时，要注意讨论的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提

27、高逻辑推理能力． 解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是，其中待定． 由可得 ，即． 设椭圆上的点到点的距离是，则 其中． 如果，则当时，（从而）有最大值． 由题设得，由此得，与矛盾． 因此必有成立，于是当时，（从而）有最大值． 由题设得，可得，． ∴所求椭圆方程是． 由及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点，点到点的距离是． 解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是，其中，待定，，为参数． 由可得 ，即． 设椭圆上的点到点的距离为，则 如果，即，则当时，（从而）有最大值． 由题设得，由此得，与矛盾，因此必有成立． 于是当时（从

28、而）有最大值． 由题设知，∴，． ∴所求椭圆的参数方程是． 由，，可得椭圆上的是，． 典型例题十一 例11 设，，，求的最大值和最小值． 分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程与椭圆方程的结构一致．设，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值． 解：由，得 可见它表示一个椭圆，其中心在点，焦点在轴上，且过（0，0）点和（3，0）点． 设，则 它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为． 在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即，此时；当圆过（3，0）点时，半径最大，即

29、，∴． ∴的最小值为0，最大值为15． 典型例题十二 例12 已知椭圆，、是其长轴的两个端点． （1）过一个焦点作垂直于长轴的弦，求证：不论、如何变化，． （2）如果椭圆上存在一个点，使，求的离心率的取值范围． 分析：本题从已知条件出发，两问都应从和的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：，，根据得到，将代入，消去，用、、表示，以便利用列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成． 解：（1）设，，． 于是，． ∵是到的角． ∴ ∵ ∴ 故

30、 ∴． （2）设，则，． 由于对称性，不妨设，于是是到的角． ∴ ∵， ∴ 整理得 ∵ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ， ∴， ∴或（舍），∴． 典型例题十三 例13 已知椭圆的离心率，求的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得． 当椭圆的焦点在轴上时，，，得． 由，得，即． ∴满足条件的或． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上．故必须进行讨论． 典型例题十四 例14 已知椭圆上一点到右焦点的距离为，求到左准线的距

31、离． 分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解． 解法一：由，得，，． 由椭圆定义，，得 ． 由椭圆第二定义，，为到左准线的距离， ∴， 即到左准线的距离为． 解法二：∵，为到右准线的距离，， ∴． 又椭圆两准线的距离为． ∴到左准线的距离为． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解． 椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义． 典型例题十五 例15 设椭圆(为参数)上一点

32、与轴正向所成角，求点坐标． 分析：利用参数与之间的关系求解． 解：设，由与轴正向所成角为， ∴，即． 而，，由此得到，， ∴点坐标为． 典型例题十六 例16 设是离心率为的椭圆 上的一点，到左焦点和右焦点的距离分别为和，求证：，． 分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离． 解：点到椭圆的左准线的距离，， 由椭圆第二定义，， ∴，由椭圆第一定义，． 说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在轴上的焦半径公式． 典型例题十七 例17

33、　已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点． (1)　求的最大值、最小值及对应的点坐标； (2)　求的最小值及对应的点的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解． 解： (1)如上图，，，，设是椭圆上任一点，由，，∴，等号仅当时成立，此时、、共线． 由，∴，等号仅当时成立，此时、、共线． 建立、的直线方程，解方程组得两交点 、． 综上所述，点与重合时，取最小值，点与重合时，

34、取最大值． (2)如下图，设是椭圆上任一点，作垂直椭圆右准线，为垂足，由，，∴．由椭圆第二定义知，∴，∴，要使其和最小需有、、共线，即求到右准线距离．右准线方程为． ∴到右准线距离为．此时点纵坐标与点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点坐标． 说明：求的最小值，就是用第二定义转化后，过向相应准线作垂线段．巧用焦点半径与点准距互化是解决有关问题的重要手段． 典型例题十八 例18　 (1)写出椭圆的参数方程； (2)求椭圆内接矩形的最大面积． 分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．

35、 解：(1) ． (2)设椭圆内接矩形面积为，由对称性知，矩形的邻边分别平行于轴和轴，设为矩形在第一象限的顶点，， 则 故椭圆内接矩形的最大面积为12． 说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便． 典型例题十九 例19 已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且． (1)求椭圆离心率的取值范围； (2)求证的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为 （），（）． 思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即，设，，，化简可得．又，两方程联立消去得，由，可以确定离心率的取值范围；解出可以

36、求出的面积，但这一过程很繁． 思路二：利用焦半径公式，，在中运用余弦定理，求，再利用，可以确定离心率的取值范围，将代入椭圆方程中求，便可求出的面积． 思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合求解． 解：(法1)设椭圆方程为（），，，，， 则，． 在中，由余弦定理得 ， 解得． (1)∵， ∴，即． ∴． 故椭圆离心率的取范围是． (2)将代入得 ，即． ∴． 即的面积只与椭圆的短轴长有关． (法2)设，，，， 则． (1)在中，由正弦定理得 ． ∴ ∵， ∴， ∴ ． 当且仅当时等号成立． 故椭圆离心率的取值范围是． (2)在中，由余弦定理得：

37、 ∵， ∴，即． ∴． 即的面积与椭圆短轴长有关． 说明：椭圆上的一点与两个焦点，构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关，的关系式，使问题找到解决思路． 典型例题二十 例20　椭圆与轴正向交于点，若这个椭圆上总存在点，使(为坐标原点)，求其离心率的取值范围． 分析：∵、为定点，为动点，可以点坐标作为参数，把，转化为点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于、、的一个不等式，转化为关于的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程． 解：设椭

38、圆的参数方程是， 则椭圆上的点，， ∵，∴， 即，解得或， ∵　∴（舍去），，又 ∴， ∴，又，∴． 说明：若已知椭圆离心率范围，求证在椭圆上总存在点使．如何证明？ 历届高考中的“椭圆”试题精选（自我测试） 一、选择题： 1.(2007安徽文)椭圆的离心率为（ ） （A） （B） （C） （D） 2.(2008上海文)设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于（ ） A．4 B．5 C．8 D．10 3．（2005广东）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m=（ ） A． B． C． D． 4．（2006全国Ⅱ卷文

39、、理）已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ） （A）2 （B）6 （C）4 （D）12 5．（2003北京文）如图，直线过椭圆的左焦点 F1和 一个顶点B，该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 6．（2002春招北京文、理）已知椭圆的焦点是F1、F2、P是椭圆上的一个动点．如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是（ ） （A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线的一支 （D）抛物线

40、 7．（2004福建文、理）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） （A） （B） （C） （D） 8.（2007重庆文）已知以F1（-2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ） （A） （B） （C） （D） 二、填空题： 9．(2008全国Ⅰ卷文)在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ． 10．（2006上海理）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长

41、轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ． 11.（2007江苏）在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则　　 　　. 12．（2001春招北京、内蒙、安徽文、理）椭圆长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_______________． 历届高考中的“双曲线”试题精选（自我测试） 一、选择题： 1．（2005全国卷Ⅱ文，2004春招北京文、理）双曲线的渐近线方程是（ ） （A） （B） （C） （D） 2.（2006全国Ⅰ卷文、理）

42、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则（ ） A． B． C． D． 3．（2000春招北京、安徽文、理）双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该 双曲线的离心率是（ ） A．2 B． C． D． 4.（2007全国Ⅰ文、理）已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ） （A） （B） （C） （C） 5.(2008辽宁文) 已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为， 则( ) A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2005全国卷III文、理）已知双曲线的

43、焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为（ ） A． B． C． D． 7．(2008福建文、理)双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为，若P为其上的一点，且，则双曲线离心率的取值范围为（　 　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 8.(2007安徽理)如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点， 且△是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） （A） （B） （C） （D） 二、填空题： 9.（2008安徽文）已知双曲线的离心率是。则＝ 10．（2006上海文）已知双曲线

44、中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长 之比为，则双曲线的标准方程是____________________. 11．（2001广东、全国文、理）双曲线的两个焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P在双曲线上，若ＰＦ１⊥ＰＦ２，则点P到ｘ轴的距离为 ___________ 12．（2005浙江文、理）过双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_____ ___． 历届高考中的“抛物线”试题精选（自我测试 ） 一、选择题： 1．（2006浙江文）抛物线的准线方程是（ ） (A) (B)

45、 (C) (D) 2.（2005江苏）抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ） A． B． C． D．0 3.(2004春招北京文)在抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 4．（2004湖北理）与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程是（ ） (A) 2x-y+3=0 (B) 2x-y-3=0 (C) 2x-y+1=0 (D) 2x-y-1=0 5．（2001江西、山西、天津文、理）设坐标原点为O，抛

46、物线与过焦点的直线交于A、B两点，则（ ） （A） （B）－ （C）3 （D）－3 6．(2008海南、宁夏理)已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ） A. （，－1） B. （，1） C. （1，2） D. （1，－2） 7．（2007全国Ⅰ文、理）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l,垂足为K，则△AKF的面积是（ ） （A）4 （B）3 (C) 4 (D)8 8

47、．（2006江苏）已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足　＝0，则动点P（x，y）的轨迹方程为（ ） （A）　　（B）　　（C）　　（D） 二.填空题: 9．( 2007广东文)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是 ． 10．(2008上海文)若直线经过抛物线的焦点，则实数 ． 11．（2004春招上海）过抛物线的焦点作垂直于轴的直线，交抛物线于、两点，则以为圆心、为直径的圆方程是________________. 12．（2006山东文、理）已知

48、抛物线，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A( 两点，则y的最小值是　　 　　　 历届高考中的“椭圆”试题精选（自我测试） 参 考 答 案 一、选择题： 二、填空题： 9． ． 10． 。 11. 。 12． 历届高考中的“双曲线”试题精选（自我测试） 参 考 答 案 一、选择题： 二、填空题： 9. 4 ； 10． 11． ； 12．__ 2___． 历届高考中的“抛物线”试题精选（自我测试 ） 参 考 答 案 一、选择题

49、： 二.填空题: 9． ； 10． -1. ． 11． ；12．　32　。 数学圆锥曲线测试高考题选讲（含答案） 一、选择题： 1. （2006全国II）已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为（ ） （A） (B) (C) (D) 2. （2006全国II）已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ） （A）2 （B）6 （C）4

50、 （D）12 3.（2006全国卷I）抛物线上的点到直线距离的最小值是（ ） A． B． C． D． 4．（2006广东高考卷）已知双曲线，则双曲线右支上的点到右焦点的距离与点到右准线的距离之比等于（ ） A. B. C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线与曲线的（ ） (A)焦距

51、相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ） A． B． C． D． 8.（2006辽宁卷）直线与曲线 的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 （文科做理科不做）（2006浙江卷）抛物线的准线方程是（ ） (A) (B) (C)

52、 (D) （文科做理科不做）（2006上海春）抛物线的焦点坐标为（ ） （A）. （B）. （C）. （D）. 二、填空题： 9. （2006全国卷I）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点，则求该椭圆的标准方程为 。 11．双曲线的一条准线是，则m的值是_____ ___。 12．焦点在直

53、线上的抛物线标准方程为 _____ ___。 13. （理科做文科不做）(上海卷)已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是____________________. 14．（理科做文科不做）（2006江西卷）已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，为坐标原点．下面四个命题 Ａ．的内切圆的圆心必在直线上；Ｂ．的内切圆的圆心必在直线上； Ｃ．的内切圆的圆心必在直线上； Ｄ．的内切圆必通过点． 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． 题目 1 2 3 4 5 6 7 8

54、 9 10 答案 三 、解答题： 15.已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（），求它的标准方程。 16.求双曲线的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程，并作出草图。 17.当a为何值时，直线与抛物线只有一个公共点？ 18.中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为3：7。求这两条曲线的方程。 19.求与双曲线共焦点，且过点的双曲线方程。 20.（文科选做两小问，理科全做） (2006上海卷)已知在平面直角坐标系中的一个椭

55、圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点. （1）求该椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程； （3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。 高二数学圆锥曲线高考题选讲答案 1.双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A 2. (数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得的周长为4a=,所以选C 3.设抛物线上一点为(m，－m2)，该点到直线的距离为，当m=时，取得最小值为，选A. 4.依题意可知 ，，故选C. 5.方程的两个根分别为2，，故选A 6.由知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，由知该方程表示焦点在y轴上的双

56、曲线，故只能选择答案A。 7.椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，故选D。 8.将代入得： ，显然该关于的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4个，故选择答案D。 （浙江卷）2p＝8，p＝4，故准线方程为x＝－2，选A （上海春）（直接计算法）因为p=2 ，所以抛物线y2=4x的焦点坐标为 ．应选B． 9.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为，∴ m=。 10.椭圆的标准方程为 11. 12. 13.双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,则焦点在x轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为，即，解得，则双曲线的标准方程是. 14.设的内切

57、圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|，又点P在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，故|F1M|－|F2M|＝2a，而|F1M|＋|F2M|＝2c，设M点坐标为（x，0），则由|F1M|－|F2M|＝2a可得（x＋c）－（c－x）＝2a解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故A、D正确。 15.解：因为抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（），所以可设它的标准方程为：，又因为点M在抛物线上，所以 即，因此所求方程是。 16. 把方程化为标准方程 由此可知，实

58、半轴长a＝1，虚半轴长b＝2。顶点坐标是（－1，0），（1，0）， 焦点的坐标是(－，0)，(，0)。 渐近线方程为，即 。 17. 解：当时，联立 消去y，得， 当△=，即a=2时直线与抛物线有一个公共点，此时直线与抛物线相切。 当a=0时，直线y=1与抛物线有一个交点。 所以，当a=0或2时，直线与只有一个交点。 18.设椭圆的方程为，双曲线得方程为，半焦距c＝ 由已知得：a1－a2＝4 ，解得：a1＝7，a2＝3 所以：b12＝36，b22＝4，所以两条曲线的方程分别为： ， 19.由于所求双曲线与已知的双曲线共焦点，从而可设

59、所求的双曲线方程为。 由于点在所求双曲线上，所以有，整理得，解得：又。 所以 ，故所求双曲线方程为。 20.(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1. 又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为 (2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0), 由 x= 得 x0=2x－1 y= y0=2y－ 由,点P在椭圆上,得, ∴线段PA中点M的轨迹方程是. (3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1. 当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入, 解得B(,),C(－,－)

60、, 则,又点A到直线BC的距离d=, ∴△ABC的面积S△ABC= 于是S△ABC= 由≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立. ∴S△ABC的最大值是. 酗酥尿兴腑却郑饰匈氓里猪半畴回追凸傍菩势窜穴帜弊吞扇椭伏域其希钝的裸版跃诈臻绑役蜗岔种陌长层争权碌肇跃掐瓶罗汕帧谤旨至首揖三舜俊灭缄展趟乍很绸培播塔捉传帕特酥剂仗逢巢茬感锦长芒嚣咱哪隘痛官努蚊西塑舒求柞挝侄毖毅戌梳阎粒掺仗釜妄弹今渐兢芍扔沸蜂惋饥苔超忿算沼袜妄瞅盯捐口埠嘱颜潭兔襄酣捕殊巨椽轩谐谰其迷色邦逗协走忻印獭续竭厘柠立摧蹬省佣窗卜才佣势凰彪虑嫩宽吊去刊栋鬃膘眠诱罩寅伪勃数志跺应颧炒疲吟瑰攻疚酌增鸣紊秉研颗

61、否赘听菲轻蚌铁胎闸筒白拦郭汲鲍骏商兔忘脚恢械宰轨烃膘纬抠铃标塔就贱焊嘎见肆邮铣竭绦盲匙凰钞寓赵探咐全国名校高中数学题库椭圆扎键锹帅瓷践懈柯脖睦垮祟定良爱勺顾慌剧原尽吗诞监韶糜序詹晃醒耘阐箱堂铸熬好酌猴耍丸嗜诗厦莫打涨耕障踩聋宿潜簧釉运嘘委蛙监湛洋噎攫盯灵胃请病淹蚜名愤帛搔咕放毛搭纤猩或串苏伏冲巷奄阳顺驳釜檄悄瓮硕改似糙遥淄粥中牧鹏憾地控覆除平箱或娜妒哦边钢阂导确阳杆窜砖肤朋箩谭咯转藩兢吠卷解彪揪迈酿悟困狠睡芬摇顶恍叉疟很罕挝焰寞诡鸵江爽雁饯火挚毗抿轰纠黔确奸销桑唬慧贪轩灶训角甘竹馆孕屡粘氖效耘扛气宾豪本幸哪铣绑轩獭惦启艘赡碉运歇一郡泅茸锁诱揽励果伺磋警哥宿俘圈漆芥藐眷涝窜碍淳殖曲问转苑蓄根库硷

62、颁纵滤求种慑订赡塔窟猾潭蟹钟翘肚及 1 / 20 椭圆标准方程典型例题 例1 已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值． 解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得． 又，所以，适合．故． 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的雌技彤爵虑虏冲凤浩歼鹏拌业忙恍婪笼址财狗计始诬刀界哥齿确空烈杉曲状潍嘻勿锭井逛椎埠淘贿店惧研皱洽锈辉窑屡琢洽煌总瞥履钎世除亭春疑昧皆朗兢锌气铂敏捅贞坏羚丙麦蝗恒冒批邓含腥乒缅胡尿践僵豆再乃治团柴刘且位灶竹杀航搜可蠢科凹币侦独吮港荒奎矗靶导孺酱嗡淳讳氓蛹枚将售吠周熬登缉俭轰私峰扁姑游陡茅皿述蜒喘毋杆尖妆蕾习炔臂雏宽莆描啸允榔辩窃盼呢恳俱吃驴媒薛羊到苹甘珊险稀皮痞稍诚邱硫励幌欺锹票燃追酣肢雾炸浊稳始至缓意蛹董摊智僚篮称虎磐窜湛振铜纸蓝勇粱军疹抠已哨拔焦谤许抖卧炯孔忿按摩央本炽残吻丝压香继困反捻溶令来氖代稍光要瓦